Analys i En Variabel - Gränsvärde

Kan man göra följande?

$\to_{x \to 0}^{l i m} x \sin (\frac{1}{x}) = \to_{x \to 0}^{l i m} x \times \to_{x \to 0}^{l i m} \sin (\frac{1}{x})$

Vi ersätter $\frac{1}{x} = t$ och får $\to_{x \to 0}^{l i m} \sin (\frac{1}{x}) = \to_{t \to \infty}^{l i m} \sin (t)$

$∴ (\to_{x \to 0}^{l i m} x) \times (\to_{x \to 0}^{l i m} \sin (\frac{1}{x})) = (\to_{x \to 0}^{l i m} x) \times (\to_{t \to \infty}^{l i m} \sin (t))$

Jag tänker då att om $\frac{1}{x} \to \infty d å x \to 0$ så är den lika med $t \to \infty d å t \to \infty$ . Men jag är osäkert... det kanske inte går för att dem inte går lika snabbt till $\infty$ och därför är dem inte lika med varandra. Det förekommer också att vi har nu två variabler... Finns det ens ett sätt att få detta att fungera?

En till fråga, kan man ens multiplicera gränsvärden med två olika limits? alltså typ något sånt, då i ena så går $x \to 0$ och den andra $x \to \infty$ ?

$\to_{x \to 0}^{l i m} \sin (x) \times \to_{x \to \infty}^{l i m} x$

Man kan "ta isär" uttrycket ifall båda faktorerna var för sig har definierade värden. Men sin(1/x) har inte det.

Varför skriver du förresten en pil under "lim"?

Du överkomplicerar det! Skriv om som en kvot och förläng så att du kan använda sgv för sinx/x då x går mot 0.

Bryan skrev:
En till fråga, kan man ens multiplicera gränsvärden med två olika limits? alltså typ något sånt, då i ena så går $x \to 0$ och den andra $x \to \infty$ ?

$\to_{x \to 0}^{l i m} \sin (x) \times \to_{x \to \infty}^{l i m} x$

Inte helt säker vad det är du menar men följande gäller för gränsvärden.

om $\lim_{x \to c} f (x) = L_{1}$ och $\lim_{x \to c} g (x) = L_{2}$ så är $\lim_{x \to c} [f (x) g (x)] = L_{1} L_{2}$ Om det inte svarar på din fråga, säg gärna till.

Du kan använda ”inneslutning”.

0 $\leq$ $|x \sin (1 / x)|$ $\leq$ $|x|$ . Och vi har att $\lim_{x \to 0} |x|$ = 0.

Laguna skrev:
Man kan "ta isär" uttrycket ifall båda faktorerna var för sig har definierade värden. Men sin(1/x) har inte det.

Varför skriver du förresten en pil under "lim"?

Vad menar du med att uttrycket kan ta isär när båda faktorerna har en definierad värde när $x \to 0$ ?? :)

$\to_{p i l e n h ä r u p p e ?^}^{p i l e n h ä r n e r e ?}$ eller vilken menar du?? :)

Bryan skrev:
Laguna skrev:
Man kan "ta isär" uttrycket ifall båda faktorerna var för sig har definierade värden. Men sin(1/x) har inte det.

Varför skriver du förresten en pil under "lim"?

Vad menar du med att uttrycket kan ta isär när båda faktorerna har en definierad värde när $x \to 0$ ?? :)

$\to_{p i l e n h ä r u p p e ?^}^{p i l e n h ä r n e r e ?}$ eller vilken menar du?? :)

Okej! nu ser jag vad du menar! nu hittar jag den riktiga $\lim_{x \to \infty}$ , trodde att den inte fanns, så jag använde mig av $\to_{x \to \infty}^{l i m}$ istället, tack!

Dracaena skrev:
Du överkomplicerar det! Skriv om som en kvot och förläng så att du kan använda sgv för sinx/x då x går mot 0.

$\lim_{x \to 0} x \sin (\frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ Now we put $\frac{1}{x} = t$ and $x = \frac{1}{t}$ and get $\lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} \sin (t)}{t}$ ....

nu tror jag att jag har krånglat till den... hittar inte var jag gjorde fel...

Dracaena skrev:
Bryan skrev:
En till fråga, kan man ens multiplicera gränsvärden med två olika limits? alltså typ något sånt, då i ena så går $x \to 0$ och den andra $x \to \infty$ ?

$\to_{x \to 0}^{l i m} \sin (x) \times \to_{x \to \infty}^{l i m} x$

Inte helt säker vad det är du menar men följande gäller för gränsvärden.

om $\lim_{x \to c} f (x) = L_{1}$ och $\lim_{x \to c} g (x) = L_{2}$ så är $\lim_{x \to c} [f (x) g (x)] = L_{1} L_{2}$ Om det inte svarar på din fråga, säg gärna till.

Okej! så för båda funktioner så MÅSTE båda gå mot samma värde $x \to c$ om det ska gå att multiplicera dem? eller använda räknereglerna för gränsvärde i allmän, right? Så jag kan inte multiplicera följande?:

$\lim_{x \to a} f (x) = L_{1}$ och $\lim_{x \to c} g (x) = L_{2}$ . Dem kan inte multipliceras med varandra??

PATENTERAMERA skrev:
Du kan använda ”inneslutning”.

0 $\leq$ $|x \sin (1 / x)|$ $\leq$ $|x|$ . Och vi har att $\lim_{x \to 0} |x|$ = 0.

Kan du förklara mer om det här? så jag ska använda mig av squeeze theorem, men hur kommer man fram till att man ska använda sig av $|x|$ som högsta värde ? Alltså varför inte t.ex $|2 x|$ eller $|\sin (x)|$ ??

Bryan skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du kan använda ”inneslutning”.

0 $\leq$ $|x \sin (1 / x)|$ $\leq$ $|x|$ . Och vi har att $\lim_{x \to 0} |x|$ = 0.

Kan du förklara mer om det här? så jag ska använda mig av squeeze theorem, men hur kommer man fram till att man ska använda sig av $|x|$ som högsta värde ? Alltså varför inte t.ex $|2 x|$ eller $|\sin (x)|$ ??

$-1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1 \implies -x \leq x \sin \dfrac{1}{x} \leq x$ och eftersom $-x \rightarrow 0$ och $x \rightarrow 0$ då $x \rightarrow 0$ så får du att $x \sin \dfrac{1}{x} \rightarrow 0$ då $x \rightarrow 0$ .

Grym observering PATENTERAMERA.

Dracaena skrev:
Bryan skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Du kan använda ”inneslutning”.

0 $\leq$ $|x \sin (1 / x)|$ $\leq$ $|x|$ . Och vi har att $\lim_{x \to 0} |x|$ = 0.

Kan du förklara mer om det här? så jag ska använda mig av squeeze theorem, men hur kommer man fram till att man ska använda sig av $|x|$ som högsta värde ? Alltså varför inte t.ex $|2 x|$ eller $|\sin (x)|$ ??

$-1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1 \implies -x \leq x \sin \dfrac{1}{x} \leq x$ och eftersom $-x \rightarrow 0$ och $x \rightarrow 0$ då $x \rightarrow 0$ så får du att $x \sin \dfrac{1}{x} \rightarrow 0$ då $x \rightarrow 0$ .

Grym observering PATENTERAMERA.

Åh! Okej! tack för förklaringen, nu fattar jag!

Bryan skrev:
Dracaena skrev:
Bryan skrev:
En till fråga, kan man ens multiplicera gränsvärden med två olika limits? alltså typ något sånt, då i ena så går $x \to 0$ och den andra $x \to \infty$ ?

$\to_{x \to 0}^{l i m} \sin (x) \times \to_{x \to \infty}^{l i m} x$

Inte helt säker vad det är du menar men följande gäller för gränsvärden.

om $\lim_{x \to c} f (x) = L_{1}$ och $\lim_{x \to c} g (x) = L_{2}$ så är $\lim_{x \to c} [f (x) g (x)] = L_{1} L_{2}$ Om det inte svarar på din fråga, säg gärna till.

Okej! så för båda funktioner så MÅSTE båda gå mot samma värde $x \to c$ om det ska gå att multiplicera dem? eller använda räknereglerna för gränsvärde i allmän, right? Så jag kan inte multiplicera följande?:

$\lim_{x \to a} f (x) = L_{1}$ och $\lim_{x \to c} g (x) = L_{2}$ . Dem kan inte multipliceras med varandra??

Kan någon svara på den här fråga pls

Det blir $\lim_{x\rightarrow a} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow c} g(x) = L_1 L_2$ .

Laguna skrev:
Det blir $\lim_{x\rightarrow a} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow c} g(x) = L_1 L_2$ .

Så, helt enkelt det går att multiplicera dem? Åh, detta visste inte jag man kunde göra, tusen tack!

Uttrycken representerar ju bara tal. Tal går att multiplicera.

Svara

Visa senaste svar