Analys i En Variabel - Ensidiga Gränsvärden

Beräkna högergränsvärdet $\lim_{x \to a^{+}} f (x)$ respektive vänstergränsvärdett $\lim_{x \to a^{-}} f (x)$ då:

a) $f (x) = \frac{1}{x - 1}, a = 1$

b) $f (x) = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}, a = - 2$

Jag har hittills inte hittat hur man löser en sånt uppgift algebraisk, utan att rita upp grafen, den enda sättet jag sett som närmar sig är följande:

a) $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{1.001 - 1} = \frac{1}{0.001} ∴ \lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x - 1} \to \infty \lim_{x \to 1^{-}} \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{0.999 - 1} = \frac{1}{- 0.001} ∴ \lim_{x \to 1^{-}} \frac{1}{x - 1} \to - \infty$

Är det verkligen så man ska lösa sånna uppgifter??

Det är ju en bra början att rita så man får en känsla för vad svaret skall bli.

Om detta hade varit på gymnasiet hade det säkerligen räckt.

På universitetsnivå kanske man vill att du skall visa det mer formellt, utifrån gränsvärdenas definition, att din gissning stämmer. Det beror förstås på vilken nivå denna kurs ligger. Är det en ren mattekurs så skulle jag definitivt se till att göra ett formellt bevis.

Om man vill göra det lite lättare för sig på a) kan man sätta x - 1 = t och istället beakta $\lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t}$ .

Svara