Analys I En Variabel - Beräkna Gränsvärdet

Ett sätt är att använda Taylorutveckling. Vilket polynom kan användas för att approximera $e^x-1$? :)

Har inte gått genom Taylorserie än, så jag kan inte använda mig av den heller :( 

a) är ett standardgränsvärde och antar värdet 1

b) Hur kan du skriva om detta, när du vet att a) är 1?

beerger skrev:

a) är ett standardgränsvärde och antar värdet 1

b) Hur kan du skriva om detta, när du vet att a) är 1?

a) Jag har försökt använda mig av standardgränsvärden men jag verkar göra fel eller omformulera fel, någon tråd om vad jag ska tänka på när jag ska omformulera den??

Låt $e^x-1=t \implies e^x=t+1 \implies x=\ln (t+1)$
Om $x \rightarrow 0$ så måste $t \rightarrow 0$
Vilket ger efter substitution gränsvärdet:
$\lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\ln(t+1)}$=...

Kommer du vidare härifrån?

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{x}·\frac{3}{3}=3·\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{3x}=3 ·1 =\hspace{0.17em}3 \end{gathered}$$

Uppgift a) hintar nästan att man ska skriva om gränsvärdet b) och utnyttja informationen man vet i a)

Dracaena skrev:

Låt $e^x-1=t \implies e^x=t+1 \implies x=\ln (t+1)$
Om $x \rightarrow 0$ så måste $t \rightarrow 0$
Vilket ger efter substitution gränsvärdet:
$\lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\ln(t+1)}$=...

Kommer du vidare härifrån?

Kan du förklara varför om $x\to 0$så går $t\to 0$, jag verkar ha svårt med att förstå detta.

Bryan skrev:

Dracaena skrev:

Låt $e^x-1=t \implies e^x=t+1 \implies x=\ln (t+1)$
Om $x \rightarrow 0$ så måste $t \rightarrow 0$
Vilket ger efter substitution gränsvärdet:
$\lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\ln(t+1)}$=...

Kommer du vidare härifrån?

Kan du förklara varför om $x\to 0$så går $t\to 0$, jag verkar ha svårt med att förstå detta.

$t=e^x-1$, men vad gick x mot? :)

beerger skrev:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{x}·\frac{3}{3}=3·\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{3x}=3 ·1 =\hspace{0.17em}3 \end{gathered}$$

Uppgift a) hintar nästan att man ska skriva om gränsvärdet b) och utnyttja informationen man vet i a)

Åhh, okej, så $\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{e^{ax}-1}{ax}=1a$. Tack, detta hjälpte mig!

Yes, precis!

Dracaena skrev:

Bryan skrev:

Visa föregående citat

Dracaena skrev:

Låt $e^x-1=t \implies e^x=t+1 \implies x=\ln (t+1)$
Om $x \rightarrow 0$ så måste $t \rightarrow 0$
Vilket ger efter substitution gränsvärdet:
$\lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\ln(t+1)}$=...

Kommer du vidare härifrån?

Kan du förklara varför om $x\to 0$så går $t\to 0$, jag verkar ha svårt med att förstå detta.

$t=e^x-1$, men vad gick x mot? :)

Hmm... okej, så eftersom vid ekvationen/funktionen har vi att $e^x=t+1\to 0$så gäller det att $e^0=0+1=1$.Vilket innebär att när $x\to 0$ så går också $y\to 0$. 

Jag antar att du menar att $t=e^0-1$ och att $e^0=1$ vilket då ger att $t=1-1=0$. Om det är det du menar så ja, precis så.

Nu kanske det ser klurigt ut att forsätta men om du kollar noga så kommer du se något speciellt med kvoten. Kasta ner täljaren i nämnaren och använd lagarna för logaritmerna så kommer du se snart att något intressant kommer hända.

Dracaena skrev:

Jag antar att du menar att $t=e^0-1$ och att $e^0=1$ vilket då ger att $t=1-1=0$. Om det är det du menar så ja, precis så.

Nu kanske det ser klurigt ut att forsätta men om du kollar noga så kommer du se något speciellt med kvoten. Kasta ner täljaren i nämnaren och använd lagarna för logaritmerna så kommer du se snart att något intressant kommer hända.

Ja! det var exakt så jag menade, men okej, nu tror jag att jag fattar varför det är så, tack!

$...=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{t}{\ln \left(\right(e^x-1)+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{t}{\ln \left(e^x\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{t}{x\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{t}{x\times 1}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{t}{x}$

och eftersom vi hade tidigare sagt att både t och x går mot 0, så är den lika med 1? Men detta gäller bara om dem går mot 0 lika snabbt, kan du förklara varför dem går exakt lika snabbt? Jag har fortfarande inte fattat det. 

Här måste vi vara försiktiga, nu har vi blandat både x och t, det vill vi inte göra. Om vi kör en substitution (detta gäller speciellt integraler när vi börjar köra med u-sub) så måste vi se till att vi håller oss till en variabel. 

dvs, nu när vi bytt till t vill vi gärna att det endast ska finnas t i gränsvärdet. 

Det jag menade var följande:
$\lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\ln(t+1)}= \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{\dfrac{1}{t} \ln(t+1)}=\lim_{t \to 0} \dfrac{1}{\ln(t+1)^{1/t}}$

Vad går nämnaren mot? Det borde vara väldigt bekant. ;)

Åhh, okej!! $\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

Så hela lösningen är följande (correct me if Im wrong pls):

lösning a) 

 $y=e^x-1, x=\ln (y+1) \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{y}{\ln (y+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{{\displaystyle \frac{y}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{y}}\ln (y+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left({(y+1)}^{1/y}\right)}$

$\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}{(y+1)}^{1/y}=e \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

Bryan skrev:

Åhh, okej!! $\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

Så hela lösningen är följande (correct me if Im wrong pls):

lösning a) 

 $y=e^x-1, x=\ln (y+1) \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{y}{\ln (y+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{{\displaystyle \frac{y}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{y}}\ln (y+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left({(y+1)}^{1/y}\right)}$

$\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}{(y+1)}^{1/y}=e \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

      

Ja, det ser rätt ut men din redovisning måste du träna på. Du blandar fortfarande ihop det du kallar x och y, här låter du x gå mot 0 men du har ju inte något x i ditt gränsvärde längre så det du skriver blir fel trots att du menar rätt. Vissa lärare kommer ge dig häftiga avdrag för sådana fel så det är bra att träna på det. 

Känns kanske lite petigt men jag nämner det så att du inte får avdrag sen när du skriver en tenta. Det är inte roligt att få anmärkningar/avdrag på småsaker som man egentligen kan! 

Överlag, bra jobbat, se till att du verkligen greppat allt som skrivits i tråden och om inte, fråga på tills det klickar. Det viktiga är att du förstår hur och varför.

Bryan skrev:

beerger skrev:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{x}·\frac{3}{3}=3·\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{3x}=3 ·1 =\hspace{0.17em}3 \end{gathered}$$

Uppgift a) hintar nästan att man ska skriva om gränsvärdet b) och utnyttja informationen man vet i a)

Åhh, okej, så $\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{e^{ax}-1}{ax}=1a$. Tack, detta hjälpte mig!

Hej, det stämmer inte. Titta på lösningen igen. Man har lagt till 3/3 (som ju bara är 1 och därför inte ändrar något). Det har man gjort för att få 3x både i exponenten och nämnaren och kan då utnyttja standardgränsvärde. 

Hondel skrev:

Bryan skrev:

Visa föregående citat

beerger skrev:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{x}·\frac{3}{3}=3·\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{3x}=3 ·1 =\hspace{0.17em}3 \end{gathered}$$

Uppgift a) hintar nästan att man ska skriva om gränsvärdet b) och utnyttja informationen man vet i a)

Åhh, okej, så $\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{e^{ax}-1}{ax}=1a$. Tack, detta hjälpte mig!

Hej, det stämmer inte. Titta på lösningen igen. Man har lagt till 3/3 (som ju bara är 1 och därför inte ändrar något). Det har man gjort för att få 3x både i exponenten och nämnaren och kan då utnyttja standardgränsvärde. 

Hmm, just det! Tack för att peka ut det! Jag rättar mig själv då.

$\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{e^{ax}-1}{ax}=1 \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}a\times \frac{e^{ax}-1}{ax}=1a$. 

Hoppas detta stämmer nu ^^!

Dracaena skrev:

Bryan skrev:

Åhh, okej!! $\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

Så hela lösningen är följande (correct me if Im wrong pls):

lösning a) 

 $y=e^x-1, x=\ln (y+1) \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{y}{\ln (y+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{{\displaystyle \frac{y}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{y}}\ln (y+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left({(y+1)}^{1/y}\right)}$

$\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}{(y+1)}^{1/y}=e \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

      

Ja, det ser rätt ut men din redovisning måste du träna på. Du blandar fortfarande ihop det du kallar x och y, här låter du x gå mot 0 men du har ju inte något x i ditt gränsvärde längre så det du skriver blir fel trots att du menar rätt. Vissa lärare kommer ge dig häftiga avdrag för sådana fel så det är bra att träna på det. 

Känns kanske lite petigt men jag nämner det så att du inte får avdrag sen när du skriver en tenta. Det är inte roligt att få anmärkningar/avdrag på småsaker som man egentligen kan! 

Överlag, bra jobbat, se till att du verkligen greppat allt som skrivits i tråden och om inte, fråga på tills det klickar. Det viktiga är att du förstår hur och varför.

Okej, inte petigt alls! jag ska försöka formulera det bättre igen.

$y=e^x-1, x=\ln (y+1) \therefore \frac{e^x-1}{x}=\frac{y}{\ln (y+1)}$. $x\to 0$då går också $y\to 0$ $\therefore \underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{{\displaystyle \frac{y}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{y}\ln (y+1)}}=\underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left({(y+1)}^{1/y}\right)}.$

$\underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}{(y+1)}^{1/y}=e \therefore \underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

Vad sägs om nu? :)

Bryan skrev:

Dracaena skrev:

Visa föregående citat

Bryan skrev:

Åhh, okej!! $\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

Så hela lösningen är följande (correct me if Im wrong pls):

lösning a) 

 $y=e^x-1, x=\ln (y+1) \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{y}{\ln (y+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{{\displaystyle \frac{y}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{y}}\ln (y+1)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left({(y+1)}^{1/y}\right)}$

$\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}{(y+1)}^{1/y}=e \therefore \underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

      

Ja, det ser rätt ut men din redovisning måste du träna på. Du blandar fortfarande ihop det du kallar x och y, här låter du x gå mot 0 men du har ju inte något x i ditt gränsvärde längre så det du skriver blir fel trots att du menar rätt. Vissa lärare kommer ge dig häftiga avdrag för sådana fel så det är bra att träna på det. 

Känns kanske lite petigt men jag nämner det så att du inte får avdrag sen när du skriver en tenta. Det är inte roligt att få anmärkningar/avdrag på småsaker som man egentligen kan! 

Överlag, bra jobbat, se till att du verkligen greppat allt som skrivits i tråden och om inte, fråga på tills det klickar. Det viktiga är att du förstår hur och varför.

Okej, inte petigt alls! jag ska försöka formulera det bättre igen.

$y=e^x-1, x=\ln (y+1) \therefore \frac{e^x-1}{x}=\frac{y}{\ln (y+1)}$. $x\to 0$då går också $y\to 0$ $\therefore \underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{{\displaystyle \frac{y}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{y}\ln (y+1)}}=\underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left({(y+1)}^{1/y}\right)}.$

$\underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}{(y+1)}^{1/y}=e \therefore \underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\ln \left(e\right)}=\underset{y\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{1}=1$

Vad sägs om nu? :)

Mycket bättre. I slutet hade jag dock föredragit om du skrev att lim..... av (y+1)^(1/y) = 1/ln(e). Det blir mycket tydligare men jag tycker det du redovisat nu är bra. Grymt jobbat!