Analys i En Variabel - Beräkna Gränsvärdet - trigonometriska & naturliga funktioner

Beräkna följande gränsvärde:

$\to_{x \to 0^{+}}^{l i m} \frac{\ln (1 + \sin (x))}{\sin (x)}$

Jag har löst uppgiften men vet inte om jag tänkte rätt eller inte, kan någon kontrollera och kritisera min lösning här nedan:

$\frac{\ln (1 + \sin (x))}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)} \times \ln (1 + \sin (x)) = \ln ((1 + \sin {(x))}^{1 / \sin (x)})$

Vi vet att $\to_{x \to 0^{+}}^{l i m} \sin (x) = 0$ och $\to_{x \to 0^{+}}^{l i m} x = 0$ , dessa beter sig på liknande sätt när $x \to 0^{+}$

$∴ \sin (x) = x ∴ \to_{x \to 0^{+}}^{l i m} \ln ((1 + \sin {(x))}^{1 / \sin (x)}) = \to_{x \to 0^{+}}^{l i m} \ln ({(1 + x)}^{1 / x}) = 1$

Lim x->0 (1+x)^(1/x)=e

Ekvivalent med (1+sinx)^(1/sinx)

Detta leder till lne=1

Jag tror du har gjort rätt.

Axel72 skrev:
Lim x->0 (1+x)^(1/x)=e

Ekvivalent med (1+sinx)^(1/sinx)

Detta leder till lne=1

Jag tror du har gjort rätt.

Åh, just det, glömde bort att lägga $\to_{x \to o^{+}}^{l i m} \ln ({(1 + x)}^{1 / x}) = \ln (e) = 1$ . Tack!

En annan strategi kan vara att säga att t=sin(x). När x->0+ kommer då t->0+. Så din funktion blir då ln(1+t)/t, vilket är ett standardgränsvärde när t->0.

Hondel skrev:
En annan strategi kan vara att säga att t=sin(x). När x->0+ kommer då t->0+. Så din funktion blir då ln(1+t)/t, vilket är ett standardgränsvärde när t->0.

Alltså ersätta "sin(x)=x" till "sin(x)=t" så det ser mer tydligt vad jag menar? eller har "t" en specifik betydelse för just denna processen? :)

Den specifika betydelsen för t i det här fallet är att välja en annan variabel än just x.

Smaragdalena skrev:
Den specifika betydelsen för t i det här fallet är att välja en annan variabel än just x.

Åh okej! Men då fattar jag, tack för eran hjälp!

Svara

Visa senaste svar