Analys i En Variabel - Beräkna Gränsvärde

Taylorutveckla exponentialfunktionen till minst en term av grad= 4. Då kan du uppskatta uttrycket nedåt, det blir lättare att visa ditt påstående konkret och du slipper skriva "går mot oändligheten fortare" som inte godtas av alla.

Tomten skrev:

Taylorutveckla exponentialfunktionen till minst en term av grad= 4. Då kan du uppskatta uttrycket nedåt, det blir lättare att visa ditt påstående konkret och du slipper skriva "går mot oändligheten fortare" som inte godtas av alla.

Jag kan inte använda mig av taylor utvecklingen eller l'hopitals regel, jag har inte gått genom detta än :/

Se standardgränsvärde 5) nedan:

Skriv om $e^{\frac{1}{x}}$med hjälp av Taylorutvekling, när du sedan multiplicerar denna utveckling med $x^3$

Så får du: $x^3{e}^{\frac{1}{x}}=\frac{x^3}{0!}+\frac{x^2}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!*x}+\frac{1}{5!*x^2}+\frac{1}{6!*x^3}...$

Vad händer om du låter x gå mot $0^{+}$?

MathematicsDEF skrev:

Skriv om $e^{\frac{1}{x}}$med hjälp av Taylorutvekling, när du sedan multiplicerar denna utveckling med $x^3$

Så får du: $x^3{e}^{\frac{1}{x}}=\frac{x^3}{0!}+\frac{x^2}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!*x}+\frac{1}{5!*x^2}+\frac{1}{6!*x^3}...$

Vad händer om du låter x gå mot $0^{+}$?

TS har redan nämnt att hen inte kan använda maclaurin eller l'hopitals, se Tomtens inlägg ovan. 

Man får fortsätta på spåret som Tomast var inne på och används sgv vilket förmodligen är det enda Ts har lärt sig. 

tomast80 skrev:

Se standardgränsvärde 5) nedan:

Okej! så.. if $\underset{t{\to }^{\infty }}{\lim }\frac{t^n}{e^t}=0$then $e^t>t^{n }$  $\therefore \underset{t{\to }^{\infty }}{\lim }\frac{e^t}{t^3}=\infty$

Uttrycket går mot oändligheten, ja, men inte p g a  e^t > tⁿ  utan p g a det skarpare att tⁿ /e^t  går mot 0 och detta följer i sin tur av formel 7 (inte den formel 5 som står här ovan, för denna formel krävde ju onödigtvis, att n ska vara ett naturligt tal och du har ju t^-3  dvs n=-3 i ditt uttryck). 

Jag bifogar f ö här ett enkelt motexempel med täljaren större än nämnaren och som likväl inte går mot oändligheten:  (n+1)/n, som ju går mot 1. 

Tomten skrev:

Uttrycket går mot oändligheten, ja, men inte p g a  e^t > tⁿ  utan p g a det skarpare att tⁿ /e^t  går mot 0 och detta följer i sin tur av formel 7 (inte den formel 5 som står här ovan, för denna formel krävde ju onödigtvis, att n ska vara ett naturligt tal och du har ju t^-3  dvs n=-3 i ditt uttryck). 

Hm, men är inte faktumet att $e^t>t^n$ som gör att $\frac{t^n}{e^t}$ går mot noll för stora värde för t?? 

7 (inte den formel 5 som står här ovan, för denna formel krävde ju onödigtvis, att n ska vara ett naturligt tal och du har ju $t^{-3}$  dvs n=-3 i ditt uttryck). 

Jag har $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{e^t}{t^3}$, alltså $t^3$ , 3 är en naturligt tal, eller har jag räknat ut fel nu och bör egentligen ha $t^{-3}$ ?  

Jag bifogar f ö här ett enkelt motexempel med täljaren större än nämnaren och som likväl inte går mot oändligheten:  (n+1)/n, som ju går mot 1. 

Åhh, okej, nu fattar jag! Men vad konstigt, kan du förklara mer om varför detta händer? Jag hade för mig att beroende på om täljaren eller nämnaren växer snabbare så bestämmer detta vart den ska närma sig, antingen mot noll eller oändligheten

Bryan skrev:

Tomten skrev:

Jag bifogar f ö här ett enkelt motexempel med täljaren större än nämnaren och som likväl inte går mot oändligheten:  (n+1)/n, som ju går mot 1. 

Åhh, okej, nu fattar jag! Men vad konstigt, kan du förklara mer om varför detta händer? Jag hade för mig att beroende på om täljaren eller nämnaren växer snabbare så bestämmer detta vart den ska närma sig, antingen mot noll eller oändligheten

Du kan göra omskrivningen $\frac{n+1}{n}=\frac{n}{n}+\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n}$ där den sista termen går mot 0 när n går mot oändligheten.

Jag tycker det räcker att skriva $e^t \gg t^n$ för stora t. Alltså att exponentialfunktioner växer mycket snabbare än potensfunktioner.

Givetvis är liknande diskussioner nödvändigt imprecisa och känsliga för kontext men i detta sammanhang bör ovan presentation vara tillräcklig för att motivera gränsvärdets resultat. Detta godtas dock inte av alla som Tomten skriver.

1. Frågeställaren Bryan läser på universitet. Det är mycket osannolikt att en matematisk institution på ett universitet godtar oprecisa formuleringar som t ex "går snabbare". Men om frågan har uppkommit inom något annat ämne än just matematik så är det inte omöjligt att det kan accepteras. Inriktningen kan då  t ex vara att enbart få fram svaret att använda i något annat sammanhang.

2. Bryans förvåning över mitt motexempel kan bero på en förväxling av den givna följden med en geometrisk talföljd för i en sådan är hans resonemang OK. 

Jag antar att vi får utgå från standardgränsvärdet $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{t^3}{e^t}=0$ som känt.

Sats:

Om f(t) är är positiv för alla t > a (a något reellt tal) och om $\underset{t\to \infty }{\lim }f\left(t\right)$ = 0 så gäller det att $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{f\left(t\right)}=\infty$.

Bevis:

Låt c vara ett godtyckligt positivt reellt tal. Eftersom f(t) går mot noll då t går mot oändlighet så finns det ett positivt reellt tal d $\ge$ a sådant att t  > d implicerar att $f\left(t\right)<\frac{1}{c}$, vilket i sin tur medför att c < $\frac{1}{f\left(t\right)}$, och således går $\frac{1}{f\left(t\right)}$ mot oändlighet då t går mot oändlighet.

Om vi tillämpar satsen på vårt problem med utnyttjande av standardgränsvärdet, så ser vi att gränsvärdet går mot oändlighet.