Analys: derivera funktionsserier

Det som är uppseendeväckande är att man inte helt sonika kan byta ordningen på operationen att derivera resp. operationen att ta gränsvärdet av en funktionsföljd (serien). Med andra ord, du kan inte "flytta in" derivata-operationen innanför summan. För att få göra denna manöver så måste vissa krav vara uppfyllda, annars kan det gå snett.

Det andra exemplet är uppseendeväckande på så vis att en följd av kontinuerliga funktioner inte konvergerar till en kontinuerlig funktion.

EDIT 1: För att använda matematisk notation, manövern som jag syftar på är följande. Antag att vi har en följd av deriverbara funktioner $\{f_n\}$. Då vet vi att alla summor $\sum_{n=1}^{k}f_n(x)$ är deriverbara med derivatan $\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{k}f_n(x) = \sum_{n=1}^{k}\frac{d}{dx}f_n(x)$. I gränsvärdet då $k \rightarrow \infty$ kan saker emellertid gå snett. Det är frestande att tro att $\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}f_n(x)$ men ovanstående exempel visar att det inte är så enkelt. Det första exemplet visar hur det kan gå fel. I det andra exemplet så är konvergerar $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ inte ens till en kontinuerlig funktion och är därmed inte ens deriverbar. Vissa krav måste vara uppfyllda för att man ska få byta ordning på operationer på detta vis. I ingenjörskurser bryr man sig aldrig om detta utan bara antar att denna manöver ska fungera utan någon motivering men det bör inte påpekas för läraren eftersom det kan uppfattas som snobbigt.

EDIT 2: Vad gäller den sistnämnda serien så är den alltså 1 för nollskillda x men 0 då x=0. Detta kan du verifiera själv m.h.a. formel för en geometrisk serie samt lite algebra.

Freewheeling skrev:

[...] ovanstående exempel visar att det inte är så enkelt. Det första exemplet visar hur det kan gå fel. I det andra exemplet så är konvergerar $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ inte ens till en kontinuerlig funktion och är därmed inte ens deriverbar.

Åh... uppfattat.

I ingenjörskurser bryr man sig aldrig om detta utan bara antar att denna manöver ska fungera utan någon motivering men det bör inte påpekas för läraren eftersom det kan uppfattas som snobbigt.

Hahaha, ska gå linjär algebra nu i period 1, då ska jag fråga massor av snobbfrågor så att läraren blir alldeles rasande, tex om ett påstående gäller om dimensionen inte är ändlig.

EDIT 2: Vad gäller den sistnämnda serien så är den alltså 1 för nollskillda x men 0 då x=0. Detta kan du verifiera själv m.h.a. formel för en geometrisk serie samt lite algebra.

Aha, alltså en uppochnedvänd kronecker delta funktion!

Nu blev jag uppseendeväckt, tack