analys - burkoptimering

Kanske kan man använda följande metod? (Lagrange multiplier)

$A(r, h) = 2 \pi r h + \pi r^2$

Bivillkor: $g(r, h) = \pi r^2 h - V = 0$

Definiera $F = A + \lambda g$

Och ställ upp ett ekv. system

$\partial F / \partial r = 0$

$\partial F / \partial h = 0$

$g(r,h) = 0$

Intressant metod, undrar om det är samma Lagrange som Lagrangepunkten har fått sitt namn från.

Jag hade helst hållt mig till det som vi har gått igenom i matteboken. 

Hittills verkar lösningssättet vara att hitta en funktion för burkarean, derivera den och hitta minimipunkten.

Se nedan.

Fix volym ger en relation mellan r och h. Valfri variabel kan då elimineras, så du får A(r) eller A(h).

Sant...

Ja, elimenering verkar bra, jag testar med att eliminera h och köra på A(r)...

"med en given volym V", man får väl inte välja en godtycklig volym själv antar jag...

I svaret så blev, höjden = r, hur kom dom fram till det?

Man kommer väl fortfarande ha 2 okända variabler, r och V.

$A\left(r\right)=\frac{V}{{\mathrm{\pi r}}^2}*2\mathrm{\pi r}+{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{2\mathrm{V}}{\mathrm{r}}+{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{2\mathrm{V}+{\mathrm{\pi r}}^3}{\mathrm{r}}$

Hur ser uttrycket för A(r) ut? Ta sedan fram derivatan A'(r).

Stämmer det ovanstående A(r)?

Ja. Sista omskrivningen kan du dock strunta i.

Tänk på att V är konstant, så det är bara att derivera på.

Ok radien blev rätt, r=$\sqrt[3]{\frac{V}{\mathrm{\pi }}}$, hur vet man att höjden = radie då?

Jaha, sätter man att r=$\sqrt[3]{\frac{{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}}{\mathrm{\pi }}}$ så måste h bli r...