Analys av yta i R^3

Ska lösa följande uppgift:

Bestäm de punkter på ytan

 $z^2=1+4xy$

Som ligger närmast origo. 

Har gjort liknande problem innan och är med på att optimera F = avståndsformeln i kvadrat med bivillkor g: $z^2=1+4xy$

Facit till uppgiften gör dock några avgörande slutsatser initialt som jag inte förstår. Kopierar dessa:

"Vi börjar med att konstatera att med  $x= r\cos \theta$och $y=r\sin \theta$

är $r^2+z^2=r^2(1+\sin (2\theta )/2+1) > r^2/2$

och eftersom f(0,0,1) = 1 så vet vi att ett minimum finns i det område av ytan som svarar mot $x^2+y^2\le 2$och randen behöver vi undersöka eftersom funktionsvärdet där är större än 2." 

Jag förstår inte den första omskrivningen då jag genom att insätta

(x=teta),         (x,y)=(rcos(teta),rsin(teta))får  $z^2=1+4r^2\left(\sin x\cos x\right)=1+4r^2\left(\frac{\sin \left(2x\right)}{2}\right)=1+r^2\left(2\sin \right(2x\left)\right)$

insättning i r^2+z^2 ger:

$r^2+z^2=r^2(1+2\sin (2x\left)\right)+1$

alltså inte samma som facit. Undrar även hur man drar slutsatsen större än r^2/2.

Vore jättetacksam för en förklaring!

.