Analys: är 1/x en kontinuerlig funktion?

Att man kan rita funktionen utan att lyfta pennan. Med denna definition är 1/x inte kontinuerlig.

Att gränsvärdet i varje punkt finns och är lika med värdet i punkten. 

Skulle säga att 1/x är kont på Df, men inte på R.

Den är inte en kontinuerlig funktion, därför att "du kan inte rita den utan att lyfta på penna" :)

x=0 ger inte värde på funktionen och dessutom existerar inget gränsvärde då x-->0

Micimacko skrev:

Att gränsvärdet i varje punkt finns och är lika med värdet i punkten. 

Är detta def av kontinuerlig funktion? Då blir 1/x alltså inte kontinuerlig. (Varje punkt R eller varje punkt Df?)

Skulle säga att 1/x är kont på Df, men inte på R.

Låter bra

Qetsiyah skrev:

Micimacko skrev:

Att gränsvärdet i varje punkt finns och är lika med värdet i punkten. 

Är detta def av kontinuerlig funktion? Då blir 1/x alltså inte kontinuerlig. (Varje punkt R eller varje punkt Df?)

Ja, det är definitionen, lyfta pennan är mer en minnesregel. Ganska säker att det är varje punt i Df som menas, klassiskt exempel på kont funkt som inte är kont på många intervall är tan x. 

Jamen lyfta på pennan fungerar inte ens, 1/x är en kontinuerlig funktion, och det är tanx också!

Qetsiyah skrev:

Jamen lyfta på pennan fungerar inte ens, 1/x är en kontinuerlig funktion, och det är tanx också!

Det funkar lika bra som den andra, bara att du måste hitta Df först vilken du än använder.

Det finns inget definitivt svar på detta eftersom det finns olika definitioner av vad det innebär att en funktion är kontinuerlig. Du måste som du säkert vet till att börja med att definiera definitionsmängden ordentligt. Väljer du till exempel $D_f=\mathbb{Q}$ kommer funktionen aldrig att vara kontinuerlig, oavsett vilken definition du använder.

Men om vi nu antar att du menar att definitionsmängden är $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ får man att $1/x$ är  kontinuerlig om man definierar kontinuerlig funktion som en funktion som är kontinuerlig vid alla punkter i dess definitionsmängd. Definierar man istället kontinuerlig funktion som en funktion som är kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$ kan $1/x$ uppenbarligen inte vara kontinuerlig (detta skulle jag säga är vanligare).

Om jag själv får uttala mig tycker jag att en kontinuerlig funktion bör innebära att vi kan göra en jämn promenad längs funktionsgrafen i hela definitionsmängden (det är ju lite det som är essensen i epsilon-delta-definitionen av gränsvärden och kontinuitet). Det blir inte möjligt när definitionsmängden har ett hål i sig (d.v.s. den är inte enkelt sammanhängande). Som alltid när det finns olika definitioner av ett begrepp är det sammanhanget som spelar roll. Det blir därför svårt att ge ett vettigt svar till den lösryckta frågan "Är $1/x$ en kontinuerlig funktion?".

AlvinB skrev:

Väljer du till exempel $D_f=\mathbb{Q}$ kommer funktionen aldrig att vara kontinuerlig, 

Hehe

Definierar man istället kontinuerlig funktion som en funktion som är kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$ kan $1/x$ uppenbarligen inte vara kontinuerlig (detta skulle jag säga är vanligare).

Är det vanligare? En person på reddit säger att det är vanligare att använda Df.

Det blir inte möjligt när definitionsmängden har ett hål i sig (d.v.s. den är inte enkelt sammanhängande). 

sin(x)/x?

Qetsiyah skrev:

AlvinB skrev:

Väljer du till exempel $D_f=\mathbb{Q}$ kommer funktionen aldrig att vara kontinuerlig, 

Hehe

Definierar man istället kontinuerlig funktion som en funktion som är kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$ kan $1/x$ uppenbarligen inte vara kontinuerlig (detta skulle jag säga är vanligare).

Är det vanligare? En person på reddit säger att det är vanligare att använda Df.

Det varierar som sagt. Engelska Wikipedia håller med mig:

Det blir inte möjligt när definitionsmängden har ett hål i sig (d.v.s. den är inte enkelt sammanhängande). 

sin(x)/x?

Du har en bra poäng. För funktioner som är begränsade när de närmar sig sina diskontinuiteter går det ju faktiskt att göra en sådan "jämn promenad" jag talade om. Däremot är jag nog inte benägen att kalla $f(x)=\sin(x)/x$ för kontinuerlig ändå. Det är nog någonting med just att vi i sådana här fall kallar punkten $x=0$ för en diskontinuitet. Det blir ju konstigt om en kontinuerlig funktion kan ha diskontinuiteter.

Så här har jag blivit skolad, för mig så känns det som det absolut mest logiska sättet att hantera kontinuitet (inom envariabel).

Inom topologin så definieras (ibland) en kontinuerlig funktion mellan ett topologiskt rum X och ett topologiskt rum Y genom att kräva att, för varje öppen delmängd U i Y, f^-1(U) är en öppen delmängd i X.

Kontinuitet beror därför på vilka topologier man valt för X och Y. Det går att välja dessa så att alla funktioner blir kontinuerliga, om man så önskar.

Tex om vi beaktar funktioner i ${\mathrm{ℝ}}^S$, där S $\subset$ $\mathrm{ℝ}$, och väljer topologin på $\mathrm{ℝ}$ (som målmängd) till $\left\{\mathrm{ℝ},\varphi \right\}$, så blir varje funktion kontinuerlig oavsett vilken topologi vi väljer på S.

Om vi har en funktion f i ${\mathrm{ℝ}}^S$ och om vi har standardtoplogin ${\tau }_{\mathrm{ℝ}}$ på $\mathrm{ℝ}$ (som målmängd), så kan vi göra f kontinuerlig genom att välja f^-1(${\tau }_{\mathrm{ℝ}}$) som topologi på S.

Emmy noether: men den definierar inte begreppet kontinuerlig funktion?

Patenteramera: ja jag kan inte riktigt svara nåt för att jag inte förstår. 

Så vad är kontentan? En funktion är kontinuerlig om den är kont i alla punkter i dess defmängd?

Qetsiyah skrev:

Emmy noether: men den definierar inte begreppet kontinuerlig funktion?

Patenteramera: ja jag kan inte riktigt svara nåt för att jag inte förstår. 

Så vad är kontentan? En funktion är kontinuerlig om den är kont i alla punkter i dess defmängd?

Kontentan var väl hur man ville definiera "kontinuerlig funktion". Som tidigare nämnts i tråden så är det lite olika (alltså har frågan inget helt rätt eller fel svar). Angående vad PATENTERAMERA skrev (om jag ska försöka "skala ner det" lite?), så kan man definiera "kontinuerlighet" med hjälp av exempelvis "öppna mängder". Dessa öppna mängder definieras av topologin, och därför kan kontinuerligheten bero på topologin som man väljer/vilka mängder som anses som öppna.

Moffen skrev:

Kontentan var väl hur man ville definiera "kontinuerlig funktion". Som tidigare nämnts i tråden så är det lite olika (alltså har frågan inget helt rätt eller fel svar).

Okej

Angående vad PATENTERAMERA skrev (om jag ska försöka "skala ner det" lite?), så kan man definiera "kontinuerlighet" med hjälp av exempelvis "öppna mängder". Dessa öppna mängder definieras av topologin, och därför kan kontinuerligheten bero på topologin som man väljer/vilka mängder som anses som öppna.

Ja... det finns inga begrepp jag inte förstår i din light-version men jag förstår ändå inte. But fear not! Jag ska ta reda på det