Analys 1

Läste du inte exemplen som fanns i tråden du länkade till?

Smaragdalena skrev:

Läste du inte exemplen som fanns i tråden du länkade till?

ja det är vad han __tänker___, men vad är sant - evidens, empirisk.

En kvadrerbar mängd är en mängd vars yttre kant inte har någon area. Vad är det? ett <b>exempel</b>.

och en icke-kvadrerbar mängd, är det en yttter kant som <i>har</i>  area? Vad är det då <b>till exempel</b>

Eller vadå... är det egneltige bara kort och gott "ett kontinuerligt område" http://courses.mai.liu.se/GU/TATA43/Dokument/lecture11.pdf se sats 22.

(om ja, vad är det för terminologi, vad är historen bakom att man kallar det kvadrerbart...)

Personen som skrev inlägget du citerar är fortfarande aktiv på Pluggakuten och har gjort sig känd här för att skriva välstrukturerade, kloka och högt uppskattade inlägg. Jag föreslår att du tar kontakt med henom för att reda ut eventuella frågetecken kring hens inlägg.

Albiki skrev:

Personen som skrev inlägget du citerar är fortfarande aktiv på Pluggakuten och har gjort sig känd här för att skriva välstrukturerade, kloka och högt uppskattade inlägg. Jag föreslår att du tar kontakt med henom för att reda ut eventuella frågetecken kring hens inlägg.

Det var verkligen ingen diss.

Om smaragdalena föstod det, och inte jag. Så kan ju hon jättegärna förklara eftersom jag uinte förstår. Istället för att jag skickar ett privat pm. Jag hänvisade bara till tråden för jag orkar inte med inlägg "har du googlat" . Tråden handlar inte om jag har läst tråden, googlat eller så. Utan vad som menas.

Trådfen handlade om att jag ville ha ___exempel___, men om kvadrerbart kort och gott menas med "kontinerlig, klass C^1 ) så kan jag komma på själv.

Det handlade om att jag inte förstod yttre kant jadi jadi.. 

Vad står det i din lärobok?

Kvadrerbar verkar inte stå nånstans i hela wikipedia. Är det samma som mätbar (measurable)? 

Smaragdalena skrev:

Vad står det i din lärobok?

inget, stötte på det på nätet.

Laguna skrev:

Kvadrerbar verkar inte stå nånstans i hela wikipedia. Är det samma som mätbar (measurable)? 

http://courses.mai.liu.se/GU/TATA43/Dokument/lecture11.pdf sats 22.

SeriousSquad's inlägg i den tråden jag länkade också.

Kvadrerbar mängd är dessvärre inget enkelt begrepp, det betyder inte att mängden är kontinuerlig (menar du kanske kompakt? det är funktioner, inte mängder, som kan vara kontinuerliga).

En kvadrerbar mängd är en mängd som är Jordanmätbar. Det har att göra med integrerbarhet. En kontinuerlig funktion $f$ är nämligen (Riemann)integrerbar över ett kompakt område $D$ om området $D$ är Jordanmätbart, d.v.s. kvadrerbart. Det går dessutom att visa att en mängd är Jordanmätbar om dess rand har Lebesguemåttet noll. Det var detta som SeriousCephalopod talade om i tråden på Gamla Pluggakuten.

Exakt vad det betyder att vara Jordanmätbar är ganska krångligt. Enkelt brukar man förklara det med att mängder som på ett bra sätt går att approximera med rektanglar är Jordanmätbara. De flesta vanliga mängder man stöter på (typ cirklar, ellipser, områden som ramas in av snälla funktioner, rektanglar, o.s.v.) är Jordanmätbara. Att konstruera en mängd som inte är Jordanmätbar är faktiskt ganska krångligt, och det är knappast särskilt intuitivt hur mängden ser ut eller varför den inte är Jordanmätbar.

mrlill-ludde, det vore bra om du kunde skriva vad det är du egentligen vill veta när du frågar, istället för att bara fråga om ett lösryckt citat (som om politiska företag och vad-det-nu-var-för-underliga-broar, som visade sig komma från frågor om ekonomi) eller som nu att vilja ha exempel när det står exempel i länken man skickar med. Det är svårt för oss att svara, när frågorna är så dåligt formulerade att vi måste gissa oss till vad du menar. /moderator

Smaragdalena skrev:

mrlill-ludde, det vore bra om du kunde skriva vad det är du egentligen vill veta när du frågar, istället för att bara fråga om ett lösryckt citat (som om politiska företag och vad-det-nu-var-för-underliga-broar, som visade sig komma från frågor om ekonomi) eller som nu att vilja ha exempel när det står exempel i länken man skickar med. Det är svårt för oss att svara, när frågorna är så dåligt formulerade att vi måste gissa oss till vad du menar. /moderato

Ja jo ok. 

kan du ge ex på en funktion som uppfyller "Det jag tänker mig dock är att ett kvadrerbart område avser ett område (en mängd i planet) som kan approximeras väl av ett stort antal rektanglar."

"Detta gäller generellt för alla områden som man kan skissa men det går att hitta på områden som inte går att approximera på detta sätt." kan du säga ett område som inte går att approx på det sättet?

"Ta mängden av alla punkter med rationella koordinater. Detta är relativt hela planet ett väldigt litet antal punkter men om du ger varje punkt en egen kvadrat pixel så kommer du istället att täcka upp hela planet och inte kunna urskilja hur detta skiljer sig från hela planet. Spelar ingen roll hur små kvadraterna är. " kvadrat approx en rektangel, så jag ska ett rationell tal, slänga in den i en rektangel? jag fattar inte vad som menas med det.

"En mängd sägs vara kvadrerbar om dess rand är en nollmängd
eller mer informellt.
En kvadrerbar mängd är en mängd vars yttre kant inte har någon area." hur kan man se om en rand har nollmängd?

(& i de andra uppgifterna så är det direkt översatt till svenska så..?)

Ja, direkt, ord för ord och framför allt utan sammanhang. Att översätta ord för ord ger inte alltid en korrekt översättning. /moderator

AlvinB skrev:

Kvadrerbar mängd är dessvärre inget enkelt begrepp, det betyder inte att mängden är kontinuerlig (menar du kanske kompakt? det är funktioner, inte mängder, som kan vara kontinuerliga).

En kvadrerbar mängd är en mängd som är Jordanmätbar. Det har att göra med integrerbarhet. En kontinuerlig funktion $f$ är nämligen (Riemann)integrerbar över ett kompakt område $D$ om området $D$ är Jordanmätbart, d.v.s. kvadrerbart. Det går dessutom att visa att en mängd är Jordanmätbar om dess rand har Lebesguemåttet noll. Det var detta som SeriousCephalopod talade om i tråden på Gamla Pluggakuten.

Exakt vad det betyder att vara Jordanmätbar är ganska krångligt. Enkelt brukar man förklara det med att mängder som på ett bra sätt går att approximera med rektanglar är Jordanmätbara. De flesta vanliga mängder man stöter på (typ cirklar, ellipser, områden som ramas in av snälla funktioner, rektanglar, o.s.v.) är Jordanmätbara. Att konstruera en mängd som inte är Jordanmätbar är faktiskt ganska krångligt, och det är knappast särskilt intuitivt hur mängden ser ut eller varför den inte är Jordanmätbar.

Grejen är att vi har inte ens kommit så långt, har inte ens hört Lebresguetmåt, Jordanmätbar :S

Det jag försöker tänka mig är liksom

Mangden D kallas kvadrerbar om dD ar en noll-mangd. Hur kollar man liksom ens den randen? Att den randen har en 0-mängd.

mrlill_ludde skrev:

AlvinB skrev:

[...]

Grejen är att vi har inte ens kommit så långt, har inte ens hört Lebresguetmåt, Jordanmätbar :S

Det jag försöker tänka mig är liksom

Mangden D kallas kvadrerbar om dD ar en noll-mangd. Hur kollar man liksom ens den randen? Att den randen har en 0-mängd.

Jag misstänkte det - och då tycker jag att du inte bör ödsla allt för mycket tid på att förstå detta. Det är nämligen ganska invecklat. Vad jag tycker du behöver veta är att kvadrerbar mängd betyder att en mängd går att integrera på, och att i princip alla vanliga mängder man stöter på är kvadrerbara.

Men låt oss ta ett par exempel så kanske det blir lite klarare. Om vi exempelvis har mängden $[0,1]$ (alla reella tal mellan $0$ och $1$ kommer randen (kanten) av mängden att vara $\{0,1\}$, d.v.s. talen $0$ och $1$. Eftersom Lebesguemåttet har egenskapen att Lebesguemåttet av unionen av två mängder är lika med summan av Lebesguemåtten för mängderna (det går att läsa om på Wikipedia) får vi:

$\lambda(\{0,1\})=\lambda(\{0\})+\lambda(\{1\})=0+0=0$

(eftersom Lebesguemåttet av en enpunktsmängd är noll, vilket är ganska intuitivt eftersom längden av intervallet $[a,a]$ bör vara noll)

Vi ser att Lebesguemåttet för randen till vår mängd är noll, och alltså är mängden $[0,1]$ kvadrerbar. Detta vet vi ju redan, eftersom det går att integrera en kontinuerlig funktion, säg $f(x)=1$, över $[0,1]$:

$\displaystyle\int_{[0,1]}f\left(x\right)\ dx=\int_0^1 1\ dx=1$

Vi kan även ta ett tvådimensionellt exempel, mängden $[0,1]^2=[0,1]\times[0,1]$ (enhetskvadraten). Randen till denna mängd blir:

$\{(x,0)|x\in[0,1]\}\cup\{(x,1)|x\in[0,1]\}\cup\{(0,y)|y\in[0,1]\}\cup\{(1,y)|y\in[0,1]\}\$

(det ser krångligt ut, men det är bara fyra raka linjer)

Denna mängd har dimension ett och då finns en egenskap hos Lebesguemåttet i $\mathbb{R}^n$ som säger att ifall dimensionen är lägre än $n$ är Lebesguemåttet noll. I vårt fall arbetar vi i $\mathbb{R}^2$ och eftersom vår linje är av dimension ett blir då Lebesguemåttet noll, och därmed konstaterar vi att mängden $[0,1]^2$ är Jordanmätbar och kvadrerbar.

Nu kan vi kika på ett exempel som inte är kvadrerbart, nämligen mängden av alla rationella tal mellan $0$ och $1$, $[0,1]\cap\mathbb{Q}$. Denna mängd har faktiskt $[0,1]$ (alla reella tal mellan $0$ och $1$) som rand. Jag vet att det låter konstigt, men det beror på att de rationella talen är en tät delmängd till $\mathbb{R}$ med tomt inre. Eftersom $[0,1]$ enligt definitionen av Lebesguemått har Lebesguemåttet $\lambda([0,1])=1$ får vi att randen inte är en nollmängd, och alltså är mängden rationella tal mellan $0$ och $1$ inte kvadrerbar.

AlvinB skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

[...]

Grejen är att vi har inte ens kommit så långt, har inte ens hört Lebresguetmåt, Jordanmätbar :S

Det jag försöker tänka mig är liksom

Mangden D kallas kvadrerbar om dD ar en noll-mangd. Hur kollar man liksom ens den randen? Att den randen har en 0-mängd.

Jag misstänkte det - och då tycker jag att du inte bör ödsla allt för mycket tid på att förstå detta. Det är nämligen ganska invecklat. Vad jag tycker du behöver veta är att kvadrerbar mängd betyder att en mängd går att integrera på, och att i princip alla vanliga mängder man stöter på är kvadrerbara.

Men låt oss ta ett par exempel så kanske det blir lite klarare. Om vi exempelvis har mängden $[0,1]$ (alla reella tal mellan $0$ och $1$ kommer randen (kanten) av mängden att vara $\{0,1\}$, d.v.s. talen $0$ och $1$. Eftersom Lebesguemåttet har egenskapen att Lebesguemåttet av unionen av två mängder är lika med summan av Lebesguemåtten för mängderna (det går att läsa om på Wikipedia) får vi:

$\lambda(\{0,1\})=\lambda(\{0\})+\lambda(\{1\})=0+0=0$

(eftersom Lebesguemåttet av en enpunktsmängd är noll, vilket är ganska intuitivt eftersom längden av intervallet $[a,a]$ bör vara noll)

Vi ser att Lebesguemåttet för randen till vår mängd är noll, och alltså är mängden $[0,1]$ kvadrerbar. Detta vet vi ju redan, eftersom det går att integrera en kontinuerlig funktion, säg $f(x)=1$, över $[0,1]$:

$\displaystyle\int_{[0,1]}f\left(x\right)\ dx=\int_0^1 1\ dx=1$

Vi kan även ta ett tvådimensionellt exempel, mängden $[0,1]^2=[0,1]\times[0,1]$ (enhetskvadraten). Randen till denna mängd blir:

$\{(x,0)|x\in[0,1]\}\cup\{(x,1)|x\in[0,1]\}\cup\{(0,y)|y\in[0,1]\}\cup\{(1,y)|y\in[0,1]\}\$

(det ser krångligt ut, men det är bara fyra raka linjer)

Denna mängd har dimension ett och då finns en egenskap hos Lebesguemåttet i $\mathbb{R}^n$ som säger att ifall dimensionen är lägre än $n$ är Lebesguemåttet noll. I vårt fall arbetar vi i $\mathbb{R}^2$ och eftersom vår linje är av dimension ett blir då Lebesguemåttet noll, och därmed konstaterar vi att mängden $[0,1]^2$ är Jordanmätbar och kvadrerbar.

Nu kan vi kika på ett exempel som inte är kvadrerbart, nämligen mängden av alla rationella tal mellan $0$ och $1$, $[0,1]\cap\mathbb{Q}$. Denna mängd har faktiskt $[0,1]$ (alla reella tal mellan $0$ och $1$) som rand. Jag vet att det låter konstigt, men det beror på att de rationella talen är en tät delmängd till $\mathbb{R}$ med tomt inre. Eftersom $[0,1]$ enligt definitionen av Lebesguemått har Lebesguemåttet $\lambda([0,1])=1$ får vi att randen inte är en nollmängd, och alltså är mängden rationella tal mellan $0$ och $1$ inte kvadrerbar.

Jag frågade min lärare.. För jag förstod allt det du skrev,
men han svarar såhär (distanskurs) 

Jag e helt snurrig ,fattar ingenting av det här.... 

(förtydligade: detta är ingen tenta eller så, detta är en distans jag läser och det är mkt enklare med inskannade frågor än hålla på å skriva i text)

Jag antar att det är någon typ av fråga du besvarar (uppgift c), kan du delge den?

Du har missuppfattat det jag försökte säga lite grann. Kvadrerbar mängd definieras ju som att randen till mängden är en nollmängd, vilket är samma sak som att mängden är Jordanmätbar. Det där jag sade med att en kvadrerbar mängd går att integrera på var bara för att försöka ge lite förståelse till vad man kan använda kvadrerbarhet till.

Med tanke på att ni inte diskuterat varken Lebesguemått eller Jordanmått, hur definierar kursen en nollmängd? Hur är det tänkt att ni skall visa att randen är en nollmängd eller ej?

I den lärobok jag använder(i en grundläggande kurs om flervariabelanalys som jag antar är nivån som avses) definieras en nollmängd N som en mängd som för varje givet epsilon(större än 0) kan täckas av ett ändligt antal axelparallella rektanglar vars area är mindre än detta epsilon. Med "täckas" menas att unionen av alla rektanglarna har N som en delmängd. Man kan sedan visa en sats som säger att grafen till en kontinuerlig envariabelfunktion är en nollmängd. Därför är alltså alla områden vars rand kan beskrivas som grafen av en eller flera envariabelfunktioner kvadrerbara. (Dvs randen är någon slags "linje)

AlvinB skrev:

Jag antar att det är någon typ av fråga du besvarar (uppgift c), kan du delge den?

Du har missuppfattat det jag försökte säga lite grann. Kvadrerbar mängd definieras ju som att randen till mängden är en nollmängd, vilket är samma sak som att mängden är Jordanmätbar. Det där jag sade med att en kvadrerbar mängd går att integrera på var bara för att försöka ge lite förståelse till vad man kan använda kvadrerbarhet till.

Med tanke på att ni inte diskuterat varken Lebesguemått eller Jordanmått, hur definierar kursen en nollmängd? Hur är det tänkt att ni skall visa att randen är en nollmängd eller ej?

https://kurser.math.su.se/pluginfile.php/48538/mod_resource/content/1/Dag1%2CAnalysB%2CHT17.pdf

Som vill eg ba ha en ex på en kvadrerbar mängd å en icke kvadrerbar.. 

Kvadrerbara mängder är rätt så enkelt att komma på, det är ju bara ta en av de "gamla vanliga" mängderna du har arbetat med förut.

Jag gav dig ett endimensionellt exempel på en icke-kvadrerbar mängd. Kan du komma på ett tvådimensionellt exempel?