Allmänt om ekvationssystem

Att det måste finnas minst lika många ekvationer som variabler beror på att det annars finns flera lösningar som passar. Exempelvis kan $x+y=2$ uppfyllas av både x = y = 1 och x = 2, y = 0. Vi kan se det som att varje ekvation bestämmer precis en variabels värde. Vi kan utgå från ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta som är så enkelt som möjligt:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=-2\\ z=12\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vi kan nu blanda dessa ekvationer precis som vi vill, så länge vi inte ändrar någon variabels värde:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y+z=13 \\ z-x+y=7\\ 4z+y-z=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Detta skrivsätt är oftast så vi anträffar ekvationssystem, men egentligen är det bara en blandning av den första varianten. En ekvation kan bara bestämma en variabels värde. 

Däremot kan vi ha en ekvation med tre ekvationer men två variabler. Ibland är de lösbara, ibland inte. Det som gäller vid fler ekvationer än variabler är att vissa ekvationer måste vara dupletter (förutom en konstant). Exempel: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-2b=9 \\ 3a+4b=7\\ 2a-4b=18\end{array}\right. \end{gathered}$$

Smutstvätt skrev:

Att det måste finnas minst lika många ekvationer som variabler beror på att det annars finns flera lösningar som passar. Exempelvis kan $x+y=2$ uppfyllas av både x = y = 1 och x = 2, y = 0. Vi kan se det som att varje ekvation bestämmer precis en variabels värde. Vi kan utgå från ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta som är så enkelt som möjligt:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=-2\\ z=12\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vi kan nu blanda dessa ekvationer precis som vi vill, så länge vi inte ändrar någon variabels värde:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y+z=13 \\ z-x+y=7\\ 4z+y-z=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Detta skrivsätt är oftast så vi anträffar ekvationssystem, men egentligen är det bara en blandning av den första varianten. En ekvation kan bara bestämma en variabels värde. 

 

Däremot kan vi ha en ekvation med tre ekvationer men två variabler. Ibland är de lösbara, ibland inte. Det som gäller vid fler ekvationer än variabler är att vissa ekvationer måste vara dupletter (förutom en konstant). Exempel: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-2b=9 \\ 3a+4b=7\\ 2a-4b=18\end{array}\right. \end{gathered}$$

Uppskattar att du tog dig tiden att försöka förklara för mig. Men jag måste säga att jag inte ser att du skriver något egentligt skäl till att antal ekvationer och variabler är lika. Du skriver att ett av ekvationssystemen som du angav var en "blandning" av det andra du angav, men på vilket konkret sätt påvisar detta samband mellan antal ekvationer och variabler? Tack om du/någon annan kan svara.

Hej,

Två dimensioner.

En ekvation i två variabler beskriver en rät linje i planet.

• Två räta linjer korsar varandra i en punkt (x,y). Motsvaras av att två ekvationer har lösningen (x,y).
• Två räta linjer är parallella. Motsvaras av att två ekvationer saknar lösningar.
• Två räta linjer sammanfaller. Motsvaras av att två ekvationer har flera lösningar.

Tre dimensioner. 

En ekvation i tre variabler beskriver ett plan i rummet.

• Tre plan korsar varandra i en punkt (x,y,z). Motsvaras av att tre ekvationer har lösningen (x,y,z).
• Två plan är parallella och det tredje planet korsar dem båda. Motsvaras av att tre ekvationer har flera lösningar.
• Tre plan är parallella. Motsvaras av att tre ekvationer saknar lösningar.

Fyra dimensioner.

En ekvation i fyra variabler beskriver ett hyperplan i "rumtiden".

...

Stenenbert skrev:

Uppskattar att du tog dig tiden att försöka förklara för mig. Men jag måste säga att jag inte ser att du skriver något egentligt skäl till att antal ekvationer och variabler är lika. Du skriver att ett av ekvationssystemen som du angav var en "blandning" av det andra du angav, men på vilket konkret sätt påvisar detta samband mellan antal ekvationer och variabler? Tack om du/någon annan kan svara.

Ursäkta om min förklaring inte var tillräckligt tydlig. Min poäng är denna: En ekvation kan bara bestämma ett exakt värde hos en obekant, inte mer. Ekvationen $a=9$ bestämmer värdet av a till 9. En ekvation kan inte bestämma värdet av mer än en obekant. Ekvationen $x+y=4$ kan endast bestämma värdet av en av de två obekanta, och eftersom det finns två obekanta, finns det flera olika värden på x och y som passar ekvationen. 

Smutstvätt skrev:

Stenenbert skrev:

Uppskattar att du tog dig tiden att försöka förklara för mig. Men jag måste säga att jag inte ser att du skriver något egentligt skäl till att antal ekvationer och variabler är lika. Du skriver att ett av ekvationssystemen som du angav var en "blandning" av det andra du angav, men på vilket konkret sätt påvisar detta samband mellan antal ekvationer och variabler? Tack om du/någon annan kan svara.

Ursäkta om min förklaring inte var tillräckligt tydlig. Min poäng är denna: En ekvation kan bara bestämma ett exakt värde hos en obekant, inte mer. Ekvationen $a=9$ bestämmer värdet av a till 9. En ekvation kan inte bestämma värdet av mer än en obekant. Ekvationen $x+y=4$ kan endast bestämma värdet av en av de två obekanta, och eftersom det finns två obekanta, finns det flera olika värden på x och y som passar ekvationen. 

Du betonar att din poäng är: "En ekvation kan bara bestämma ett exakt värde hos en obekant, inte mer."

Den enda ekvationen $x+y+z+u+v+a+b+c=0$ kan alltså bara bestämma ett exakt värde hos exempelvis obekanten $x$, inte mer.

Vad betyder egentligen detta?

Vad betyder egentligen detta?

Det betyder att eftersom olika alternativ för de olika obekanta är möjliga, beroende av värdet av x, kan vi inte bestämma värdet hos någon av de obekanta. Att en ekvation kan bestämma värdet hos en obekant, betyder inte att alla ekvationer måste kunna bestämma värdet av en obekant, bara att det måste finnas en ekvation för att kunna bestämma värdet av en obekant. 

Eller med logiska symboler: $\mathrm{obekant} \mathrm{har} \mathrm{ett} \mathrm{exakt} \mathrm{värde}\Rightarrow \mathrm{finns} \mathrm{en} \mathrm{ekvation} \mathrm{som} \mathrm{bestämmer} \mathrm{dess} \mathrm{värde}$

Smutstvätt skrev:

Vad betyder egentligen detta?

Det betyder att eftersom olika alternativ för de olika obekanta är möjliga, beroende av värdet av x, kan vi inte bestämma värdet hos någon av de obekanta. Att en ekvation kan bestämma värdet hos en obekant, betyder inte att alla ekvationer måste kunna bestämma värdet av en obekant, bara att det måste finnas en ekvation för att kunna bestämma värdet av en obekant. 

Eller med logiska symboler: $\mathrm{obekant} \mathrm{har} \mathrm{ett} \mathrm{exakt} \mathrm{värde}\Rightarrow \mathrm{finns} \mathrm{en} \mathrm{ekvation} \mathrm{som} \mathrm{bestämmer} \mathrm{dess} \mathrm{värde}$

Denna formulering förvirrar mig: "Att en ekvation kan bestämma värdet hos en obekant, betyder inte att alla ekvationer måste kunna bestämma värdet av en obekant, bara att det måste finnas en ekvation för att kunna bestämma värdet av en obekant."

Vilka är dessa "alla ekvationer"? Vi har ju bara den enda ekvationen $x+y+z+u+v+a+b+c=0.$

Om vi bara har ekvationen x+y+u+v+a+b+c=0 vet vi inte tillräckligt mycket för att bestämma värdet på NÅGON av variablerna. Om vi hade vetat värdet på 7 av variablerna, vilka som helst av dem, hade vi kunnat bestämma värdet av den åttonde.

Smaragdalena skrev:

Om vi bara har ekvationen x+y+u+v+a+b+c=0 vet vi inte tillräckligt mycket för att bestämma värdet på NÅGON av variablerna. Om vi hade vetat värdet på 7 av variablerna, vilka som helst av dem, hade vi kunnat bestämma värdet av den åttonde.

Var detta inlägg tänkt att besvara min fråga till Smutstvätt?

Albiki skrev:

Smaragdalena skrev:

Om vi bara har ekvationen x+y+u+v+a+b+c=0 vet vi inte tillräckligt mycket för att bestämma värdet på NÅGON av variablerna. Om vi hade vetat värdet på 7 av variablerna, vilka som helst av dem, hade vi kunnat bestämma värdet av den åttonde.

Var detta inlägg tänkt att besvara min fråga till Smutstvätt?

Ja.

Smaragdalena skrev:

Albiki skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Om vi bara har ekvationen x+y+u+v+a+b+c=0 vet vi inte tillräckligt mycket för att bestämma värdet på NÅGON av variablerna. Om vi hade vetat värdet på 7 av variablerna, vilka som helst av dem, hade vi kunnat bestämma värdet av den åttonde.

Var detta inlägg tänkt att besvara min fråga till Smutstvätt?

Ja.

Jag för ett samtal med Smutstvätt så då är det bra om hon får tala för sig själv. Eller har ni kommit överens att du hädanefter för hennes talan i denna tråd?

Nej, det här är en tråd där var och en får skriva, inte ett privat samtal mellan dig och Smutstvätt.

Hej,

tänk dig att du använder en graf för att lösa ett ekvationssystem, om vi bara har ett ekvation kommer linjen bara fortsätta för evigt. Men om vi har flera ekvationer får vi svaret där linjerna korsar. 

Hoppas det här var tydligt