Allmänna lösningen till inhomogena differentialekvationer
Om man har en inhomogen differentialekvation, t.ex. y'+y=2x, kommer den allmänna lösningen vara y=yh+yp. Kan någon förklara kort och enkelt varför denna formel ger den allmänna lösningen?
yhuppfyller yh'+yh=0, och ypuppfyller yp'+yp=2x, eller hur?
Kan du utnyttja det till att visa att y=yh+ypuppfyller y'+y=2x?
y'+y=(yh+yp)'+(yh+yp)=yh'+yp'+yh+yp=...
Men är det tillräckligt för att bevisa formeln?
Du behöver inte bry dig om hur yh och ypser ut. Du antar bara att de är allmänna lösningen till den homogena diffekvationen, och en partikulärlösningen till den inhomogena diffekvationen, dvs att de uppfyller villkoren i #2.
y'+y=(yh+yp)'+(yh+yp)=yh'+yp'+yh+yp=yh'+yh+yp'+yp={från #2}=0+yp'+yp=[från #2}=0+2x=2x
JohanF skrev:y'+y=(yh+yp)'+(yh+yp)=yh'+yp'+yh+yp=yh'+yh+yp'+yp={från #2}=0+yp'+yp=[från #2}=0+2x=2x
Vad syftar du till när du skriver #2?
Förlåt, lite kortfattad. Jag menade kommentar #2.
Tack, nu förstår jag🙏