Allmänna lösningen till inhomogena differentialekvationer

Om man har en inhomogen differentialekvation, t.ex. y'+y=2x, kommer den allmänna lösningen vara y= $y_{h} + y_{p}$ . Kan någon förklara kort och enkelt varför denna formel ger den allmänna lösningen?

$y_{h}$ uppfyller ${y_{h}}^{'} + y_{h} = 0$ , och $y_{p}$ uppfyller ${y_{p}}^{'} + y_{p} = 2 x$ , eller hur?

Kan du utnyttja det till att visa att $y = y_{h} + y_{p}$ uppfyller $y^{'} + y = 2 x$ ?

$y^{'} + y = {(y_{h} + y_{p})}^{'} + (y_{h} + y_{p}) = {y_{h}}^{'} + {y_{p}}^{'} + y_{h} + y_{p} = . . .$

Men är det tillräckligt för att bevisa formeln?

Du behöver inte bry dig om hur $y_{h}$ och $y_{p}$ ser ut. Du antar bara att de är allmänna lösningen till den homogena diffekvationen, och en partikulärlösningen till den inhomogena diffekvationen, dvs att de uppfyller villkoren i #2.

$y^{'} + y = {(y_{h} + y_{p})}^{'} + (y_{h} + y_{p}) = {y_{h}}^{'} + {y_{p}}^{'} + y_{h} + y_{p} = {y_{h}}^{'} + {y_{h} + y_{p}}^{'} + y_{p} = {f r å n # 2} = 0 {+ y_{p}}^{'} + y_{p} = [f r å n # 2} = 0 + 2 x = 2 x$

JohanF skrev:
$y^{'} + y = {(y_{h} + y_{p})}^{'} + (y_{h} + y_{p}) = {y_{h}}^{'} + {y_{p}}^{'} + y_{h} + y_{p} = {y_{h}}^{'} + {y_{h} + y_{p}}^{'} + y_{p} = {f r å n # 2} = 0 {+ y_{p}}^{'} + y_{p} = [f r å n # 2} = 0 + 2 x = 2 x$

Vad syftar du till när du skriver #2?

Förlåt, lite kortfattad. Jag menade kommentar #2.

Tack, nu förstår jag🙏

Svara

Visa senaste svar