Allmänna lösningen till deffekvation
Har jag tänkt rätt här? Och hur löser jag c1 och c2?
Du har svarat så som uppgiften krävde, nämligen med den ALLMÄNNA lösningen.
C1 och c2 ska bara bestämmas om man vill att lösningen ska ha särskilda egenskaper t ex gå genom vissa punkter eller ha ett bestämt värde på derivatan i ngn punkt.
En fråga: varför använder du determinanter för att lösa ett ekvationssystem med bara 2 obekanta? Sådana har du löst sedan åk 9.
Så svaret är rätt? Jag trode man behövde göra de i matte specialisering?
Jag kommenterade bara tankegången och det formella.
För att säga att svaret är rätt så måste jag derivera och sätta in funktionen i ekvationen för att se om det stämmer, men det överlåter jag till dig att göra.
Hur ska jag derivera menar du? Blir de
y’’-4y’+4y=-x^2+8x+2
jag förstår att jag ska sätta in mitt svar i y men inte vad jag ska derivera och varför :)
Den allmänna lösning y, som du kommit fram till, ska du sätta in i ekv på samma sätt som du gjorde med ansatsen yp. Om den uppfyller ekv så är din allmänna lösning rätt.
y’’-4y’+4y=-x^2+8x+2
y= (c1+c2)e^2x+x^2+4x-1
y’’-4y’+4((c1+c2)e^2x+x^2+4x-1)=-x^2+8x+2 ??
Kollade lite på din partikulärlösning. Den stämmer inte. Tecknet på x2 måste vara negativt. Rekommenderar dig att lösa ekvationssystemet i a, b och c på vanligt sätt som du gjort sedan grundskolan. (Determinantmetoden kan vara bättre vid större ekv system. Själv upplever jag större felräkningsrisk med den metoden)
Såhär?
Nej, a måste vara ett negativt tal, för derivatorna av yp har ingen x2-term. Bara yp har x2-termen ax2.
Kan du snälla visa
Jag förstår verkligen inte hur jag ska göra har försökt men det blir fel
Jag ser hur du sliter. Ska därför försöka ge dig lite förklaringar och en del av lösningen. Utgångspunkten är att vi har diffekv. y´´ -4y´+4y=-4x2+8x+2 Du har lyckats ta fram korrekt lösning till den homogena ekv., så den lämnar vi därhän och koncentrerar oss på att hitta en partikulärlösning.
Din ansats yp = ax2+bx+c är helt OK. Dina derivator av yp är också rätt. Insättningen blir lite fel. Ska vara: y´´ - -4y´+4y= 2a-4(2ax+b)+4(ax2+bx+c)=2a-8ax-4b+4ax2+4bx+4c =4ax2 +(4b-8a)x + (2a-4b+4c) som ska identifieras med -4x2+8x+2 . Att identifiera innebär att likheten ska gälla för ALLA x. Det kan bara uppnås om koefficienterna för x2, x respektive den bekanta termen är lika. Det är därför jag samlar ihop alla x2- termer, x-termer och bekanta termer var för sig och gör parenteser för att man tydligt ska se vilka koefficienter de har. Ekvationssystemet blir då:
4a=-4 .....(1)
4b-8a=8 .........(2)
2a-4b+4c=2......(3)
Ekv (1) ger a=-1 som vi sätter in i (2) och (3) och får
4b+8=8 .....(2)
-2+4b+4c=2 .....(3)
(2) ger b=0 som sättes in i (3) som ger -2+0+4c=2 varvid c=1
Partikulärlösningen blir således yp=1-x2
Jag ser att du ofta oroar dig för att göra fel. Låt oss därför kontrollera om lösningen stämmer. Vi har yp´ =-2x och yp´´ =-2 som vi sätter in i diff ekv. och får
VL= yp´´ -4yp´+4yp= -2-4 (-2x)+4(1-x2)= -4x2+8x+2 = HL.
Om du kontrollerar på detta sättet slipper du oroa dig. När du sedan lär dig någon ny lösningsmetod, försök alltid komma ihåg att fråga hur man kontrollerar resultatet (om inte läraren säger det själv).
Så de blir y=(c1*c2x)e^2x+1-x2
* ska vara ett + I övrigt rätt.
Okej tack för hjälpen
