Allmän olikhetslösning av andra graden

Vi har olikheten

$x^{2} + p x + q \leq 0$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{p}{2})}^{2} - \frac{p^{2}}{4} + q \leq 0$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{p}{2})}^{2} \leq \frac{p^{2}}{4} - q$

så som jag förstår det så ges lösningarna av två "ömsesidigt uteslutande" intervall:

$x + \frac{p}{2} \leq \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q} \Leftrightarrow x \leq \frac{- p}{2} + \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}$

och

$x + \frac{p}{2} \geq - \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q} \Leftrightarrow x \geq \frac{- p}{2} - \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}$

så ett av intervallet går mellan $(- \infty, \frac{- p}{2} + \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}]$

och andra intervallet går mellan $[\frac{- p}{2} - \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}, \infty)$

Är detta en allmän lösning till olikheter av andra graden?

I analysboken så föreslår dom andra metoder för att lösa sådana olikheter,
men det här verkar väl som den mest smidiga och icke-tidskonsumerande metod, om metoden
som jag presenterat alltid stämmer?

För mig är det klart enklaste och smidigaste sättet att rita upp funktionen och titta efter var grafen ligger under y-axeln. Det är en andragradsfunktion med ett osynligt + framför kvadrattermen, d v s funktionen ser ut som ett U. Om någon del av funktionen ligger under y-axeln är det ETT intervall, inte två. Din metod ger alltså fel svar.

Smaragdalena skrev:
För mig är det klart enklaste och smidigaste sättet att rita upp funktionen och titta efter var grafen ligger under y-axeln. Det är en andragradsfunktion med ett osynligt + framför kvadrattermen, d v s funktionen ser ut som ett U. Om någon del av funktionen ligger under y-axeln är det ETT intervall, inte två. Din metod ger alltså fel svar.

Juste, i detta fall så blir det ett enda stängt intervall:

$[\frac{- p}{2} - \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}, \frac{- p}{2} + \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}]$

och om olikheten istället var "större än elr lika med":

$x^{2} + p x + q \geq 0$

så skulle min lösning funka, med två olika intervall.

Rätta mig gärna dock om du tror att det är fel, jag prövar med olika funktioner här.

För mig är din metod väldigt mycket längsammare än att rita - det betyder inte att det är något fel på din metod, bara att den inte skulle passa mig!

Smaragdalena skrev:
För mig är din metod väldigt mycket längsammare än att rita - det betyder inte att det är något fel på din metod, bara att den inte skulle passa mig!

Visuella och grafiska lösningar är alltid trevligt,

men i vissa sammanhang när man ska rita med papper och penna så tycker jag att det kan bli lite krångligt att rita upp
en del funktioner. Så jag vill också alltid kunna ha en analytisk lösning till hands.
Jag tycker det bästa är att ha en analytisk lösning tillsammans med tex en uppritad tallinje (för det här problemet)
och efter att man har fått ut lösningen så visar man på tallinjen vart x kan befinna sig.

Våra metoder är egentligen inte så olika. Jag löser andragradsekvationen md pq-formeln och funderar på om funktionen ser ut som U eller upp-och-ner, mer petigt än så tycker jag inte man behöver rita (för att få fram rätt intervall). Du löser andragrads-olikheten med kvadratkomplettering och tittar på intervallen, som inte alls är ömsesidigt uteslutande utan tvärtom överlappande i det fall du har i ditt förstainlägg. Det var "ömsesidigt uteslutande" som fick mig att tro att ditt sätt var fel, men det var inte fel, "bara" felaktigt beskrivet.

Svara

Visa senaste svar