Allmän lösning till y'y=1

Ekvationen är redan separerad, så du behöver komma fram till vad yy' integreras till, respektive vad 1 integreras till.

Tänk $y\frac{dy}{dx}=1, \int ydy = \int dx$

HT-Borås skrev :

Ekvationen är redan separerad, så du behöver komma fram till vad yy' integreras till, respektive vad 1 integreras till.

Tänk $y\frac{dy}{dx}=1, \int ydy = \int dx$

Okej! Om jag integrerar båda led med avseende på x får jag detta: 

$\int y\text{'}\left(x\right)\times y\left(x\right) = \int 1x$

Men stämmer verkligen detta? Och hur går man vidare efter detta steg? 

Tack på förhand! 

Det stämmer inte. Om du skulle derivera åt andra hållet istället, vad bleve derivatan av $y^2$ med avseende på x? Och vad bleve derivatan av x med avseende på x?

HT-Borås skrev :

Det stämmer inte. Om du skulle derivera åt andra hållet istället, vad bleve derivatan av $y^2$ med avseende på x? Och vad bleve derivatan av x med avseende på x?

Jaha, okej! Så det blir: 

$\int y\text{'}\left(x\right)\times y\left(x\right)dx = \int 1dx$ ? 

Hur gör man sen? 

Nej, som HT-Borås skrev: det blir $\int y dy = \int dx$

Prova annars med:

$y=k{x}^n$

Affe Jkpg skrev :

Prova annars med:

$y=k{x}^n$

Hur gör man då i så fall? 

naturnatur98 skrev :

Affe Jkpg skrev :

Prova annars med:

$y=k{x}^n$

Hur gör man då i så fall? 

$$\begin{gathered} y=k{x}^n \\ y\text{'}=....fundera en stund \end{gathered}$$

Det kan man inte göra något med. Lösningen är $y^2=2x+C$. Fundera istället på varför det blir så.

HT-Borås skrev :

Det kan man inte göra något med. Lösningen är $y^2=2x+C$. Fundera istället på varför det blir så.

$$\begin{gathered} kn{x}^{n-1}k{x}^n=k^{2}n{x}^{2n-1}=1 \\ sant för: \\ 2n-1 =0; n=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}{k}^2=1; k=\pm \sqrt{2} \\ y=\pm \sqrt{2x} \end{gathered}$$

Jag fick därför C=0 hos  HT-Borås :-)

Hej!

Du kan förenkla problemet att lösa differentialekvationen $y'(t)y(t) = 1$ genom att notera vad som händer om man deriverar funktionen

    $f(y(t)) = 0.5\cdot {y(t)}^2$ med avseende på $t$.

Tänk på att använda Kedjeregeln. 

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Du kan förenkla problemet att lösa differentialekvationen $y'(t)y(t) = 1$ genom att notera vad som händer om man deriverar funktionen

    $f(y(t)) = 0.5\cdot {y(t)}^2$ med avseende på $t$.

Tänk på att använda Kedjeregeln. 

Albiki

Fast då utgår man nästan ifrån att man vet svaret innan man löser uppgiften :-)

blir den allmänna lösningen y=rotenur 2x+2C ?

Hejsan! 

Har klurat lite på denna uppgift och skulle uppskatta om någon kunde kolla i fall det stämmer! 

$y\text{'}y=1$

Den primitiva ekvationen blir då:

$\frac{y^2}{2}=x + C$

Vid förenkling blir det:

$y^2=2x + 2C$

$y = \pm \sqrt{2x+2C}$

Tacksam för svar! :)

Sätt in det i ursprungsekvationen och kolla om det stämmer! Den metoden har fördelen att du kan använda den även när du inte kan fråga på Pluggakuten, exempelvis när du har prov.