Alla vektorer är matriser, inte alla matriser är vektorer
Jag vill bekräfta detta.
Qetsiyah skrev:Jag vill bekräfta detta.
Ja det stämmer.
Hm, svaret beror nog på vilken nivå man studerar detta. På universitetsnivå är påståendet inte helt korrekt.
Först så finns det ju vektorer som inte är matriser, tex geometriska "pilar" som beskriver fysikaliska storheter med riktning och magnitud i rummet. I mer avancerad matte så ser man ofta funktioner, tex polynom, som vektorer i ett abstrakt vektorrum.
Om man utgår från den abstrakta (matematiska) defintionen av vektorer så är även många matriser vektorer - de kan vanligen adderas och multipliceras med skalärer på ett sätts som uppfyller vissa fastställda axiom.
Alla vektorer är inte skrivna på matrisform, men alla vektorer kan representeras av matriser. Det är sant att många matriser är vektorer, men alla matriser är inte vektorer.
Universitetsnivå är det faktiskt, om än låg universitetsnivå, om det finns något som heter så. Kursen heter bara linjär algebra.
Men jag förstår, mycket intressant...
PATENTERAMERA skrev:Hm, svaret beror nog på vilken nivå man studerar detta. På universitetsnivå är påståendet inte helt korrekt.
[...]
Om man utgår från den abstrakta (matematiska) defintionen av vektorer så är även många matriser vektorer - de kan vanligen adderas och multipliceras med skalärer på ett sätts som uppfyller vissa fastställda axiom.
Påståendet var ju att inte alla matriser är vektorer, och det stämmer väl?
Yngve skrev:PATENTERAMERA skrev:Hm, svaret beror nog på vilken nivå man studerar detta. På universitetsnivå är påståendet inte helt korrekt.
[...]
Om man utgår från den abstrakta (matematiska) defintionen av vektorer så är även många matriser vektorer - de kan vanligen adderas och multipliceras med skalärer på ett sätts som uppfyller vissa fastställda axiom.
Påståendet var ju att inte alla matriser är vektorer, och det stämmer väl?
Håller med.
Nostalgi!
Men alla matriser är väl visst vektorer? Om den är medlem i ett vektorrum så är den väl en vektor, och Rnxm är ju vektorrum?
pepparkvarn skrev:Alla vektorer är inte skrivna på matrisform, men alla vektorer kan representeras av matriser. Det är sant att många matriser är vektorer, men alla matriser är inte vektorer.
Alla vektorer kan inte representeras av matriser. Tag godtyckligt oändligdimensionellt vektorrum, t.ex. rummet av alla kontinuerliga funktioner från R till R för motexempel. Koordinatrepresentation av vektorer (tex v=(1,2,3)) bygger på att vi hittat en ändlig bas.
Menar du inte "Alla vektorer kan inte representeras av ändliga matriser?"
Vad säger du om min fråga?
Även om det formellt sett går att definiera oändliga matriser, så är det rätt stora problem man får med sådana, så vanligen är det underförstått att matris är ändlig matris.
Om vi har åt andra hållet och startar med matriser så får man vara lite försiktig. Ett problem man kan hamna i är var vi får talen vi stoppar in i matriserna. Tittar vi på matriser med t.ex. reella tal i så bildar de ett vektorrum, men om vi tar matriser med enbart heltal i så bildar de en modul istället, då vi inte har en kropp att arbeta över.
JohanB skrev:Även om det formellt sett går att definiera oändliga matriser, så är det rätt stora problem man får med sådana, så vanligen är det underförstått att matris är ändlig matris.
Ja, jag underförstod att det var underförstått, men ville fråga ändå.
Om vi har åt andra hållet och startar med matriser så får man vara lite försiktig. Ett problem man kan hamna i är var vi får talen vi stoppar in i matriserna. Tittar vi på matriser med t.ex. reella tal i så bildar de ett vektorrum, men om vi tar matriser med enbart heltal i så bildar de en modul istället, då vi inte har en kropp att arbeta över.
Åh just det, men det stämmer i alla fall då att alla matriser R^n×m är vektorer? Är C^n×m det?
Japp, som påpekades i din dualrumstråd så är linjära avbildningar från V till W i sig ett vektorrum. När V,W är ändligdimensionella vektorrum, t.ex. R^n->R^m så kan varje linj. avb. skrivas som en matris och tvärsom. Då får vi gratis att de kan ses som vektorer.
Egentligen är det lite farligt att fråga rakt ut "är x en vektor", då vara en vektor egentligen är att man är ett element i ett vektorrum. Så på en fråga som "är enhetscirkeln i R^2 en vektor?" så kan man i någon mening svara ja, sålänge man hittar på ett vektorrum där det är ett element. Det man borde fråga är kanske istället:"Har vi någon naturlig vektorrumsstruktur på...?".
Ja!!
Exakt det jag tänkte på. Om det är så enkelt som att x är medlem i ett vektorrum, kan... vad som helst vara en vektor? Känns som att det bara är att hitta på nåt.
När jag frågade denna fråga visste jag inte lika mycket om linjär algebra, så frågan kanske inte är så... Insiktsfull.
Vad menar du med "naturlig"? Menar du det på vanlig svenska?
Mängden av alla reella tal bildar ett reellt linjärt rum.
Det betyder att varje element i den mängden är en vektor? :)
Ja, naturlig på vanliga svenska. På samma sätt som att reella tal är/kan ses som vektorer ovan (med den "naturliga" strukturen som kommer från addition och multiplikation).
