Algebrans fundamentalsats

Sats: Varje polynomfunktion vars koefficienter är komplexa tal har minst ett nollställe bland de komplexa talen.

Bevis. Låt $P(z) = c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n$ vara en polynomfunktion där koefficienterna $c_k$ är komplexa tal och där heltalet $n\geq 1$.

Anta att $P$ saknar nollställen bland de komplexa talen.

Då är $\frac{1}{P}$ en komplexvärd funktion som är hel över de komplexa talen; den är även begränsad eftersom $|P(z)| > 1$ om $|z|$ är tillräckligt stor. Enligt Liouvilles sats är denna funktion konstant, vilket medför att även polynomfunktionen $P$ är konstant. Detta är en motsägelse eftersom $n\geq 1.$