Algebraisk geometri: affine zero locus of empty set (Matematik/Universitet)

Alltså påståendet är ju sant som det står i boken men ja du kan byta 1 mot vilket annat konstant icke-noll polynom som helst, eller vilken mängd av sådana som helst. Men för en generell kropp är ju 1 det enda konstanta icke-noll polynomet som vi vet existerar, så det är väl därför de valt den.

Ett av de första problemen man ställs inför i algebraisk geometri är just det du verkar ha upptäckt här:

Vi vill förstå affina varietéer (alltså lösningsmängderna till system av polynomekvationer) genom att studera polynomen som beskriver dem - men en och samma varieté kan beskrivas med många olika ekvationssystem!

Lite mer precist formulerat gäller följande:

Observation. Följande avbildning är inte injektiv:

$\begin{array}{rcl}V\colon \{\text{Subsets of $k[x_1,\ldots,x_n]$}\}&\longrightarrow&\{\text{Affine varieties}\}\\ S&\mapsto& V(S):=\{a\in k^n:\text{$f(a)=0$ for all $f\in S$}\}\,.\end{array}$

Till exempel så kan man den tomma mängden realiseras som lösningsmängden till en mängd polynomekvationer på flera olika sätt. Precis som boken skriver är $V(\{1\})=\varnothing$ , men du har helt rätt i att även $V(\{\text{all constant polynomials}\})=\varnothing$ gäller, eller rent av: $V(k[x_1,\ldots,x_n])=\varnothing$ .

Beroende på vilken kropp du jobbar över kan det även finnas helt andra realisationer. Exempelvis gäller det att $V(\{x^2+1\})=\varnothing$ om vi jobbar över $\mathbb{R}$ , och $V(\{x^2+x+1\})=\varnothing$ om vi jobbar över $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Men - om vi jobbar över $\mathbb{C}$ (eller någon annan algebraiskt sluten kropp) så försvinner mycket av det värsta stöket!

Till exempel så gäller följande väldigt konkreta karaktärisering av polynomsystem som har tom lösningsmängd:

Sats 1. Låt $k$ vara en algebraiskt sluten kropp, och låt $S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ . Då är $V(S)=\varnothing$ om och bara om det konstanta polynomet $1$ kan bildas som en polynomiell linjärkombination av elementen i $S$ .

Mer generellt så visar det sig att över algebraiskt slutna kroppar så kan vi korrigera den misslyckade bijektionen som vi observerade ovan till en perfekt bijektion, genom att begränsa definitionsmängden till så kallade radikala ideal av $k[x_1,\ldots,x_n]$ (exakt vad detta betyder gås igenom bara några sidor från där du är nu!):

Sats 2. Anta att $k$ är en algebraiskt sluten kropp. Då är följande avbildning en bijektion:

$\begin{array}{rcl}V\colon \{\text{Radical ideals of $k[x_1,\ldots,x_n]$}\}&\longrightarrow&\{\text{Affine varieties}\}\\ J&\mapsto& V(J)\,.\end{array}$

Den här kopplingen mellan den "geometriska världen" av algebraiska varietéer och den "algebraiska världen" av radikala polynomideal kallas för Hilberts Nullstellensatz, och på många sätt kan man säga att målet med klassisk algebraisk geometri är att utforska och fördjupa den här kopplingen! (Två fina snabbintroduktioner till algebraisk geometri som jag gärna promotar - förutom Gathmanns anteckningar som skärmklippet i trådstarten kommer ifrån - är det här webbinariet med Vakil och Sturmfels, och de här anteckningarna av Fitchett.)

Nyttig övning: Hitta två olika delmängder av $\mathbb{C}[x,y]$ som beskriver mängden $X=\{(0,0)}$ i $\mathbb{C}^2$ . Om detta är för lätt, så kan du prova $X=\{(0,0),(1,2)\}$ eller $X=\{(t^2,t^3):t\in\mathbb{C}\}$ i stället.

Tack Smutsmannen!

Lite undermedvetet ville jag att S skulle vara den största sådan att V(S)=empty, men likheten gäller ju ändå så som den är skriven i bilden. Jag tänkte inte heller att V(alla)=empty!

oggih skrev:
- förutom Gathmanns anteckningar som skärmklippet i trådstarten kommer ifrån -

Haha, hur känner du igen det?

Observation. Följande avbildning är inte injektiv:

Mm... Kallas mappningen V något speciellt?

radikala ideal av (exakt vad detta betyder gås igenom bara några sidor från där du är nu!):

Det nämns redan på sida 2! (Edit: nej, det var jag själv som frågade den insiktsfulla frågan vad som händer om rotJ=J och antecknade det som stod på wiki)

Sats 2. Anta att k är en algebraiskt sluten kropp. Då är följande avbildning en bijektion:

Hmm detta måste jag smälta...

och på många sätt kan man säga att målet med klassisk algebraisk geometri

Du menar att AG historiskt växte ur sånna frågeställningar? Vad håller samtida AG-iker på med? Vilka två saker kopplade Grothendieck ihop som var så revolutionerande?

Qetsiyah skrev:

Lite undermedvetet ville jag att S skulle vara den största sådan att V(S)=empty [...]

Det är en bra instinkt, för man skulle kunna säga att det är precis detta man gör när man korrigerar den misslyckade bijektionen till den korrekta bijektionen i Hilberts Nullstellensatz! De radikala idealen i $k[x_1,\ldots,x_n]$ i någon mening de maximala polynommängderna som beskriver affina varietéer i $k^n$ , förutsatt att $k$ är en algebraiskt sluten kropp.

(Att en delmängd $S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ är ett ideal betyder att den är stor nog för att vara sluten under polynomiella linjärkombinationer, och radikaliteten är en teknikalitet som behövs eftersom $V$ inte känner av multiplicitet (redan på gymnasiet lär man ju till exempel sig att $V(\{x-1\})=V({(x-1)^2\})=V(\{(x-1)^3\})=\cdots$ ).

Haha, hur känner du igen det?

Gathmanns anteckningar var huvudreferensen när jag själv läste algebraisk geometri för första gången 2019! ^_^

Kallas mappningen V något speciellt?

Hm, man brukar nog inte fokusera så mycket på $V$ som en avbildning, utan mer ser nog det oftast bara som en notation för det man kallar för vanishing locus eller zero locus på engelska.. Men om man tvunget vill kalla den någonting skulle jag dra till med the vanishing locus mapping eller något sånt!

Du menar att AG historiskt växte ur sånna frågeställningar?

Jag vet egentligen för lite på den algebraiska geometrin historia för att våga svara på hur AG växte fram. Men bilden jag har är att AG egentligen kan spåras tillbaka ända till 1600-talet, då bland andra Descartes introducerade koordinatsystemet och man på allvar började beskriva geometriska objekt algebraiskt, och då även fundera på hur deras geometriska egenskaper avspeglar sig i ekvationerna som beskriver dem.

Vad håller samtida AG-iker på med? Vilka två saker kopplade Grothendieck ihop som var så revolutionerande?

Modern algebraisk geometri är ett enormt ämne, och jag förstår bara små delar här och där, så jag kan nog inte ge något bra svar på detta. Och det mesta av Grothendiecks arbete ligger på en enormt hög abstraktionsnivå som jag inte förstår över huvud taget, så jag vågar mig inte på att säga något om varför han exempelvis fick sin berömda Fields-medalj (som han ju sedan vägrade ta emot). KTH är ett av Nordens starkaste AG-fästen, så ett tips kan vara att fråga ut dina lärare om detta, om du råkar ha en algebraisk geometriker som föreläsare någon gång! ^_ ^

Men ett viktigt grundläggande tema som man kan säga skiljer modern AG från mer klassisk AG (och där just Grothendieck var lite av en pionjär) är att man har frångått polynomen och de motsvarande geometriska objekten som kallas varietéer allt mer, och i stället jobbar med generella ringar och något som kallas scheman (schemes på engelska). I 2019/2020-versionen av Gathmanns anteckningar kan man läsa om detta lite mer moderna Grothendieck-inspirerade perspektiv i kapitel 12 och framåt.

På tal om Grothendieck finns det förresten en kul låt av Richard Elwes på Youtube som kanske säger något om den halvt ökända legendstatus Grothendieck har i matematikvärlden: https://youtu.be/GJ1S3tFaImo. Och den här Tweeten som noterar den drastiska stilförändring han genomgick under sitt liv (och samtidigt får in en referens till Grothendieck-"primtalet" 57) är också skoj!