Algebra - xyz?

Behöver hjälp att förstå hur jag kan börja samt hur man löser denna frågan:

De tre talen x y och z är sådana att $x^{y} = 32, y^{z} = 125 o c h z^{y} = 243 .$ Vad är $x \times y \times z ?$

Tack för all hjälp!!

Hmm, ja detta är lite klurigt! Vi kan prova att multiplicera ihop den information vi fått:

$x^{y} \cdot y^{z} \cdot z^{y} = 32 \cdot 125 \cdot 243$

Vi kan använda oss av en potenslag som säger att $a^{b} \cdot c^{b} = {(a \cdot c)}^{b}$ . Då får vi vänsterledet ${(x z)}^{y} \cdot y^{z}$ , men jag vet inte om jag skulle säga att det ger så mycket.

Vi kan prova en annan metod istället! Vi faktoriserar de olika talen vi fått:

$\{\begin{cases} 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ 125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \\ 243 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \end{cases}$

Kan vi använda detta på något sätt? :)

Jag tänker att man lite måste gissa sig fram och pröva. Man kan ju tänka sig att det måste vara heltal som är lösningar.

$y^{z} = 125$

Då det slutar på en femma så är 125 delbart med 5. Därför ska det troligen vara talet 5 som multipliceras med sig självt z antal gånger för att få 125- Hur många femmor måste man multiplicera för att få 125? Vad ska då y och z vara?

Edit: Smutstvätts primtalsfaktoriseringar är ett smart.

Svara