Algebra tal problemlösning

Du kan inte använda en ekvation, bryta ut en variabel och stoppa in i sig själv eftersom du inte tillför någon ny information. Resultatet blir då av typen A-A = 0. Du har glömt att du har en till ekvation:

"Produkten av de tre talen är -30"

Detta betyder alltså att A*B*C=-30. Om du funderar lite på talet 30, vilka faktorer kan du hitta för detta tal? Du har:

2*15 = 30

3*10 = 30

5*6 = 30

Om du bryter ned faktorerna i delfaktorer (6 = 2*3 exempelvis) så ser du vilka tal A, B och C måste vara.

Står det att det ska vara heltal? 

Laguna skrev:

Står det att det ska vara heltal? 

Står inget specifikt om just det.

Det står ju inte att man ska hitta ALLA lösningar. Det vore väldigt komplicerat om det inte vore ett bivillkor med negativa heltal. I så fall en uppgift på högskolenivå.

$$\begin{gathered} x_1+x_2+x_3=-10 \\ {x}_1·x_2·x_3=-30 \\ 30=2·3·5 \\ Eftersom summan ska bli -10 så måste alla faktorer vara negativa. \\ {x}_1=-2 \\ {x}_2=-3 \\ {x}_3=-5 \end{gathered}$$

Du undrar hur man skulle kunna få fram det med algebra, dvs beräkna talen utan resonemang runt och testande. Det korta svaret på det är att det kan du inte som frågan ser ut.

Anledningen till detta är att för att kunna lösa en uppgift med tre obekanta som denna behöver du tre unika ekvationer. I detta fall har du bara två. Med unika ekvationer menas att du skall inte kunna skriva om ekvationen så den blir lika med någon av de andra. Till exempel är -10-A=B+C som du använt inte en unik ekvation då du kan skriva om den till en av dina givna ekvationer A+B+C=-10. Inte heller skulle 2A+2B+2C = -20 hjälpa oss.

Det som gör att vi ändå kan lösa denna är de bivillkor som finns. Dessa går inte att uttrycka som en ekvation men de tillför ändå information till lösningen. Att alla tre skall vara negativa innebär att då vi vet att summan skall vara -10 att alla tre talen måste vara ental. Om vi sedan förutsätter bivillkoret att alla tre skall vara heltal så leder det till att vi få tre negativa heltal som tillsamman skall ge produkten 30.

Om vi faktoriserar 30 ser vi att det finns två olika möjligheter om alla tre talen skall vara heltal. 30 = 5*6*1 eller 30 = 5*2*3. Av dessa är det bara en där summan blir 10 och där har vi vår lösning.

Om vi hade haft ett villkor till, låt oss säga C=A+B hade vi kunna lösa uppgiften algebraiskt men att lösa ekvationssystem med mer än två obekanta får du lära dig i Ma2 om du går Natur eller teknik, dvs i Ma2c. Det ingår inte i 2a eller 2b.

AndersW skrev:

Du undrar hur man skulle kunna få fram det med algebra, dvs beräkna talen utan resonemang runt och testande. Det korta svaret på det är att det kan du inte som frågan ser ut.

Anledningen till detta är att för att kunna lösa en uppgift med tre obekanta som denna behöver du tre unika ekvationer. I detta fall har du bara två. Med unika ekvationer menas att du skall inte kunna skriva om ekvationen så den blir lika med någon av de andra. Till exempel är -10-A=B+C som du använt inte en unik ekvation då du kan skriva om den till en av dina givna ekvationer A+B+C=-10. Inte heller skulle 2A+2B+2C = -20 hjälpa oss.

Det som gör att vi ändå kan lösa denna är de bivillkor som finns. Dessa går inte att uttrycka som en ekvation men de tillför ändå information till lösningen. Att alla tre skall vara negativa innebär att då vi vet att summan skall vara -10 att alla tre talen måste vara ental. Om vi sedan förutsätter bivillkoret att alla tre skall vara heltal så leder det till att vi få tre negativa heltal som tillsamman skall ge produkten 30.

Om vi faktoriserar 30 ser vi att det finns två olika möjligheter om alla tre talen skall vara heltal. 30 = 5*6*1 eller 30 = 5*2*3. Av dessa är det bara en där summan blir 10 och där har vi vår lösning.

Om vi hade haft ett villkor till, låt oss säga C=A+B hade vi kunna lösa uppgiften algebraiskt men att lösa ekvationssystem med mer än två obekanta får du lära dig i Ma2 om du går Natur eller teknik, dvs i Ma2c. Det ingår inte i 2a eller 2b.

Underbart, jag uppskattar verkligen att du tog tiden att sitta och skriva på ett enkelt och formellt sätt. På sådana uppgifter kan jag som du sa faktorisera och sedan kolla vilka tal som passar in i beskrivningarna. Jag har lärt mig det nu, Tack igen!