Algebra: studiet av algebror (över kroppar)

Läggs fokus främst på konsekvenser av multiplikationsoperationen vid studiet av algebror (över kroppar)? Annars blir det väl bara normala vektorrum?

Jag frågar inte av någon särskild anledning, jag vill bara veta vad man är intresserad av när man studerar algebror, och varför de är viktiga. Är multiplikationsoperationen en naturlig utvidgning av något annat?