Algebra och geometri

Hej!

Jag har en uppgift att göra som jag inte direkt förstår hur man ska inleda. Uppgiften går ut på att man ska skriva vektorn $\overset{⇀}{u} = [\begin{matrix} 9 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}]$ som en summa av två vektorer. En av vektorerna ska vara ortogonal mot planet $x + 2 x - 2 z = 0$ medan den andra ska vara parallell mot samma plan. Jag inledde helt enkelt med att plocka fram normalvektorn ur själva ekvationen som jag trodde skulle komma till användning i uppgiften. Sedan trodde jag att det bara gällde att plocka fram en ekvation som helt enkelt vara vinkelrät mot normalvektorn för att den väl då i sin tur också skulle vara parallell mot själva planet. Jag vet nu att det inte stämmer och jag behöver verkligen tips på hur jag ska ta mig an uppgiften.

Kalla de två vektorerna för $\vec{v}$ och $\vec{w}$ . Du vill då att:

$\vec{v}+\vec{w}=\vec{u}$

Du vill även att den ena skall vara vinkelrät mot planet $x+2x-2z=0$ , vilket du kan uttrycka som att den är en skalär multiplicerat med planets normalvektor:

$\vec{v}=k\left(1,2,-2\right)$

och slutligen vill du att den andra vektorn skall vara parallell med planet. Det betyder att den måste vara vinkelrätt mot normalrektorn, vilket du kan uttrycka som att skalärprodukten är noll:

$\vec{v}\cdot\vec{w}=0$

Kan du bestämma vektorerna $\vec{v}$ och $\vec{w}$ utifrån dessa villkor?

Hej Albin!

Menar du inte att $\overset{⇀}{v} \cdot \overset{⇀}{w} = 0$ ?

Edit: Såg nu att du hade uppdaterat. Men jag får ett fel svar i alla fall på K. Jag borde egentligen få 1/3 men jag får 3.

petz skrev:
Hej Albin!
Menar du inte att $\overset{⇀}{v} \cdot \overset{⇀}{w} = 0$ ?
Edit: Såg nu att du hade uppdaterat. Men jag får ett fel svar i alla fall på K. Jag borde egentligen få 1/3 men jag får 3.

Jo, jag rättade till det efter några minuter.

Visa dina uträkningar så kan vi se var det blir fel.

För de som gillar Mathematica…

n = {1, 2, -2};
u = {-2, 1, 0};
v = {2, 0, 1};
w = {9, -1, 2};
s = Solve[w == a n + b u + c v, {a, b, c}][[1]];
{a1, b1, c1} = {a, b, c} /. s;
a1 n
b1 u + c1 v
a1 n + b1 u + c1 v

{9, -1, 2} = {1/3, 2/3, -(2/3)} + {26/3, -(5/3), 8/3}

Jag fattar inte hur du förenklar skalärprodukten. Du bör få:

$(9,-1,2)-k(1,2,-2)=(9-k,-1-2k,2+2k)$

och alltså blir skalärprodukten:

$k(1,2,-2)\cdot(9-k,-1-2k,2+2k)=k(9-k-2-4k-4-4k)=k(3-9k)$

och sätts detta lika med noll fås:

$k(3-9k)=0$

$k=0$ och $k=\dfrac{1}{3}$

$k=0$ är ogiligtigt och alltså får vi svaret $k=\dfrac{1}{3}$ .

Aha, jag multiplicerade aldrig in K utan hade den utanför. Kanske därför det blev snett. Men tack Albin! Jag tror att jag kan lösa resten själv faktiskt :)

petz skrev:
Aha, jag multiplicerade aldrig in K utan hade den utanför. Kanske därför det blev snett. Men tack Albin! Jag tror att jag kan lösa resten själv faktiskt :)

Bra!

Detta var en rolig uppgift, det är inte bara att använda formler och definitioner, utan det krävs lite finurlighet också. :-)

AlvinB skrev:
Jag fattar inte hur du förenklar skalärprodukten. Du bör få:
$(9,-1,2)-k(1,2,-2)=(9-k,-1-2k,2+2k)$
och alltså blir skalärprodukten:
$k(1,2,-2)\cdot(9-k,-1-2k,2+2k)=k(9-k-2-4k-4-4k)=k(3-9k)$
och sätts detta lika med noll fås:
$k(3-9k)=0$
$k=0$ och $k=\dfrac{1}{3}$
$k=0$ är ogiligtigt och alltså får vi svaret $k=\dfrac{1}{3}$ .

Rätt så, men faktorn k kan utelämnas från skalärprodukten. Enbart riktningen är intressant, inte dess längd.

Trinity skrev:
AlvinB skrev:
Jag fattar inte hur du förenklar skalärprodukten. Du bör få:
$(9,-1,2)-k(1,2,-2)=(9-k,-1-2k,2+2k)$
och alltså blir skalärprodukten:
$k(1,2,-2)\cdot(9-k,-1-2k,2+2k)=k(9-k-2-4k-4-4k)=k(3-9k)$
och sätts detta lika med noll fås:
$k(3-9k)=0$
$k=0$ och $k=\dfrac{1}{3}$
$k=0$ är ogiligtigt och alltså får vi svaret $k=\dfrac{1}{3}$ .
Rätt så, men faktorn k kan utelämnas från skalärprodukten. Enbart riktningen är intressant, inte dess längd.

Det är klart, men jag tog med $k$ :et för tydlighetens skull eftersom vi satt $\vec{v}=k\left(1,2,-2\right)$ .

Svara

Visa senaste svar