4 svar
225 visningar

Algebra och geometri§

https://gyazo.com/2943d8981d513620fbb7e66972632fa6

Här kommer jag till matrisen i slutet:

får (-3,1) till egenvärde -1

och (1,3) till egenvärde 1     

till matrisen

             (  -4  3)

1/5 *     (3    4)

Varför betyder detta att speglingen är längs linjen genom origo med normalvektor (-3,1)?

Försöker greppa, fattar typ, men inte helt säker!

Guggle 1364
Postad: 4 jan 2018 19:02 Redigerad: 4 jan 2018 19:23

Hej Kvadratten,

Det finns flera sätt att identifiera eller känna igen en spegling. Den här gången tänkte jag försöka använda en bild.

Om du har en rät linje, riktning e \mathbf{e} genom origo (fet horisontell linje) så är en spegling, S(x), definierad som

När x (vektorn som vi utsätter för speglingen) är parallell med linjen e \mathbf{e} så ska S(x)=x S(\mathbf{x})=\mathbf{x}

När x är ortogonal mot e \mathbf{e} , t.ex. normalen n \mathbf{n} i vår bild, får vi S(n)=-n S(\mathbf{n})=-\mathbf{n}

Detta "råkar" vara definitionen för hur egenvektorer avbildas. Vi har två ortogonala egenvektorer till S. En  med egenvärdet 1 och en med egenvärdet -1.

Alltså har vi en spegling i den vektor som har egenvärdet 1. Normalen till denna vektor är naturligtvis den andra egenvektorn (den som har egenvärdet -1) .

Är du med på det?

Yes jag fattade faktiskt. Mycket snyggt förklarat tack! :)

Men egenvektorer är inte alltid ortogonala mot S eller?

Guggle 1364
Postad: 4 jan 2018 21:53

En kvadratisk matris S kallas ortogonal om StS=E S^tS=E . Man kan enkelt visa att detta gäller om och endast om kolonnerna i S är parvis ortogonala och har längden 1.

Ortogonala matriser har många goda egenskaper, t.ex. är inversen av en ortogonal matris helt enkelt dess transponat, S-1=St S^{-1}=S^t . Detta är något som du kommer uppskatta när du för hand beräknat ett antal inverser till matriser och inser hur mycket mekaniskt räknetragglande som behövs.

I samband med att du går igenom Spektralsatsen kommer du stöta på följande: Om A är en symmetrisk linjär avbildning är egenvektorer hörande till olika egenvärden ortogonala (ungefär samma sak gäller faktiskt för multipla egenvärden, men det brukar man inte visa explicit).

Om A är en reell symmetrisk matris finns det ALLTID en ortogonal matris T och en diagonalmatris D så att TtAT=D T^tAT=D , där diagonalelementen i D utgörs av egenvärdena och T:s kolonner är tillhörande egenvektorer.  

I det tvådimensionella fallet med en ortogonal matris A erhåller man antingen en rotation (det(A)=1) eller en spegling i en linje genom origo (det(A)=-1). Det finns motsvarande regler för 3 dimensioner, men notera alltså att det gäller ortogonala matriser.

Och så till ett alternativt sätt att förstå varför det är en spegling:

Om du beräknar determinanten för din matris får du det(A)=-1, vilket alltså betyder spegling. Beräknar du A' (dvs A i egenvektorsbasen) får du

A'=D=TtAT=110-311315-4334110-3113=-1001 A'=D=T^tAT=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{bmatrix}-3 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix}\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-4 & 3\\ 3 & 4\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{bmatrix}-3 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}

Vilket är en spegling i den andra koordinataxeln med den första koordinataxeln som normal.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 4 jan 2018 22:17

Hej!

Om man vill rotera en vektor i planet en vinkel θ \theta så ska vektorn multipliceras med rotationsmatrisen

    R(θ)=cosθ-sinθsinθcosθ . R(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\ .

Om man vill spegla en vektor ortogonalt i en linje vars ekvation är y-kx=0 y - kx = 0 så ska vektorn multipliceras med speglingsmatrisen

    S(k)=11+k21-k22k2kk2-1 . S(k) = \frac{1}{1+k^2}\begin{pmatrix}1-k^2&2k\\2k&k^2-1\end{pmatrix}\ .

För dig är θ=π2 \theta = \frac{\pi}{2} och k=-2 k = -2 så din vektor ska först multipliceras med

    R(π2)=0-110 R(\frac{\pi}{2})=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

och sedan med

    S(-2)=15-3-4-43 S(-2)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3&-4\\-4&3\end{pmatrix}

vilket ger matrisen för den sammansatta avbildningen

    A=S(-2)R(π2)=15-433-4 . A = S(-2)R(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4&3\\3&-4\end{pmatrix}\ .

Hur ser matrisen ut för ortogonal spegling i linjen som man får när man roterar linjen 2x+y=0 2x+y=0 90 grader moturs?

Albiki

Svara
Close