Algebra och geometri§

Hej Kvadratten,

Det finns flera sätt att identifiera eller känna igen en spegling. Den här gången tänkte jag försöka använda en bild.

Om du har en rät linje, riktning $\mathbf{e}$ genom origo (fet horisontell linje) så är en spegling, S(x), definierad som

När x (vektorn som vi utsätter för speglingen) är parallell med linjen $\mathbf{e}$ så ska $S(\mathbf{x})=\mathbf{x}$. 

När x är ortogonal mot $\mathbf{e}$, t.ex. normalen $\mathbf{n}$ i vår bild, får vi $S(\mathbf{n})=-\mathbf{n}$

Detta "råkar" vara definitionen för hur egenvektorer avbildas. Vi har två ortogonala egenvektorer till S. En  med egenvärdet 1 och en med egenvärdet -1.

Alltså har vi en spegling i den vektor som har egenvärdet 1. Normalen till denna vektor är naturligtvis den andra egenvektorn (den som har egenvärdet -1) .

Är du med på det?

Yes jag fattade faktiskt. Mycket snyggt förklarat tack! :)

Men egenvektorer är inte alltid ortogonala mot S eller?

En kvadratisk matris S kallas ortogonal om $S^tS=E$. Man kan enkelt visa att detta gäller om och endast om kolonnerna i S är parvis ortogonala och har längden 1.

Ortogonala matriser har många goda egenskaper, t.ex. är inversen av en ortogonal matris helt enkelt dess transponat, $S^{-1}=S^t$. Detta är något som du kommer uppskatta när du för hand beräknat ett antal inverser till matriser och inser hur mycket mekaniskt räknetragglande som behövs.

I samband med att du går igenom Spektralsatsen kommer du stöta på följande: Om A är en symmetrisk linjär avbildning är egenvektorer hörande till olika egenvärden ortogonala (ungefär samma sak gäller faktiskt för multipla egenvärden, men det brukar man inte visa explicit).

Om A är en reell symmetrisk matris finns det ALLTID en ortogonal matris T och en diagonalmatris D så att $T^tAT=D$, där diagonalelementen i D utgörs av egenvärdena och T:s kolonner är tillhörande egenvektorer.  

I det tvådimensionella fallet med en ortogonal matris A erhåller man antingen en rotation (det(A)=1) eller en spegling i en linje genom origo (det(A)=-1). Det finns motsvarande regler för 3 dimensioner, men notera alltså att det gäller ortogonala matriser.

Och så till ett alternativt sätt att förstå varför det är en spegling:

Om du beräknar determinanten för din matris får du det(A)=-1, vilket alltså betyder spegling. Beräknar du A' (dvs A i egenvektorsbasen) får du

$A'=D=T^tAT=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{bmatrix}-3 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix}\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-4 & 3\\ 3 & 4\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{bmatrix}-3 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

Vilket är en spegling i den andra koordinataxeln med den första koordinataxeln som normal.

Hej!

Om man vill rotera en vektor i planet en vinkel $\theta$ så ska vektorn multipliceras med rotationsmatrisen

    $R(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\ .$

Om man vill spegla en vektor ortogonalt i en linje vars ekvation är $y - kx = 0$ så ska vektorn multipliceras med speglingsmatrisen

    $S(k) = \frac{1}{1+k^2}\begin{pmatrix}1-k^2&2k\\2k&k^2-1\end{pmatrix}\ .$

För dig är $\theta = \frac{\pi}{2}$ och $k = -2$ så din vektor ska först multipliceras med

    $R(\frac{\pi}{2})=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$

och sedan med

    $S(-2)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-3&-4\\-4&3\end{pmatrix}$

vilket ger matrisen för den sammansatta avbildningen

    $A = S(-2)R(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4&3\\3&-4\end{pmatrix}\ .$

Hur ser matrisen ut för ortogonal spegling i linjen som man får när man roterar linjen $2x+y=0$ 90 grader moturs?

Albiki