Algebra nästan lätt

Jag kanske är lite trött efter jobbet eller något, men 3 vektorer i ett plan är inte alltid linjärt oberoende. Vad är det du menar egentligen?

Sen kan vi säkert ha en spännande diskussion om vad som får kallas en vektor, men vektorbegreppet blir lite krystat i en dimension. Jag misstänker alltså återigen att du egentligen menar något annat?

Det blev fel. Ändring

Varför är 3 vektorer i planet alltid beroende?

Varför är 2 vektorer i 1 dimension beroende?

3 vektorer $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3}$ som är linjärkombinationer av en bas för planet $\mathbf{u_1},\mathbf{u_2}$ måste vara linjärt beroende eftersom 3>2. Detta kan man se på följande sätt. Om man låter

$\mathbf{v_1}=c_{11}\mathbf{u_1}+c_{12}\mathbf{u_2}$

$\mathbf{v_2}=c_{21}\mathbf{u_1}+c_{22}\mathbf{u_2}$

$\mathbf{v_3}=c_{31}\mathbf{u_1}+c_{32}\mathbf{u_2}$

Och undersöker villkoret för linjärt beroende $\lambda_1\mathbf{v_1}+\lambda_2\mathbf{v_2}+\lambda_3\mathbf{v_3}=0$ ser man att man får ett ekvationssystem med 2 ekvationer och 3 obekanta.  Eftersom ett sådant ekvationssystem har icketriviala lösningar måste summan vara linjärt beroende (vi kan hitta minst ett $\lambda$ skilt från noll).

Detta bevis kan generaliseras.

Guggle skrev :

3 vektorer $\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3}$ som är linjärkombinationer av en bas för planet $\mathbf{u_1},\mathbf{u_2}$ måste vara linjärt beroende eftersom 3>2. Detta kan man se på följande sätt. Om man låter

$\mathbf{v_1}=c_{11}\mathbf{u_1}+c_{12}\mathbf{u_2}$

$\mathbf{v_2}=c_{21}\mathbf{u_1}+c_{22}\mathbf{u_2}$

$\mathbf{v_3}=c_{31}\mathbf{u_1}+c_{32}\mathbf{u_2}$

Och undersöker villkoret för linjärt beroende $\lambda_1\mathbf{v_1}+\lambda_2\mathbf{v_2}+\lambda_3\mathbf{v_2}=0$ ser man att man får ett ekvationssystem med 2 ekvationer och 3 obekanta.  Eftersom ett sådant ekvationssystem har icketriviala lösningar måste summan vara linjärt beroende (vi kan hitta minst ett $\lambda$ skilt från noll).

Detta bevis kan generaliseras.

Jag får bara en enda ekvation

$\lambda_1 (c_{11}\mathbf{u_1}+c_{12}\mathbf{u_2})+\lambda_2 (c_{21}\mathbf{u_1}+c_{22}\mathbf{u_2}) +\lambda_3 (c_{31}\mathbf{u_1}+c_{32}\mathbf{u_2} ) =0$

Ja, fast kom ihåg att det är en vektorekvation i två dimensioner. Delar du upp i $\mathbf{u_1}$led och $\mathbf{u_2}$-led får du två ekvationer och tre okända.

$\lambda_1 (c_{11}\mathbf{u_1}+c_{12}\mathbf{u_2})+\lambda_2 (c_{21}\mathbf{u_1}+c_{22}\mathbf{u_2}) +\lambda_3 (c_{31}\mathbf{u_1}+c_{32}\mathbf{u_2} ) =0$

$\lambda_1c_{11}u_1 + \lambda_1c_{12}u_2 + \lambda_2c_{21}u_1 +\lambda_2c_{22}u_2 + \lambda_3c_{31}u_1 + \lambda_3c_{32}u_2 = 0$

Hur får jag 2 ekvationer nu?

 u_1( \lambda_1c_{11} + \lambda_2c_{21} + \lambda_3c_{31} ) + u_2( \lambda_1c_{12} + \lambda_2c_{22} + \lambda_3c_{32} ) = 0

 Antal $\mathbf{u_1}$ ska summeras till 0, antal $\mathbf{u_2}$ ska summeras till 0.

$\lambda_1 c_{11}+ \lambda_2c_{21}+\lambda_3 c_{31}=0$

$\lambda_1 c_{12}+ \lambda_2c_{22}+\lambda_3 c_{32}=0$

Kan du finna icketriviala lösningar till det linjära homogena ekvationssystemet för dina 3 okända ($\lambda$) är vektorerna $\mathbf{v_1,v_2,v_3}$ linjärt beroende.