Algebra nästan lätt
Varför är 3 vektorer i planet alltid oberoende?
Varför är 2 vektorer i 1 dimension oberoende?? För om båda ska ligga på linjen ska de bli parallella?
Men vektor #3 i planet kan ligga utan att bli parallell med de andra....
Är det "linje" när det är en dimension?
Jag kanske är lite trött efter jobbet eller något, men 3 vektorer i ett plan är inte alltid linjärt oberoende. Vad är det du menar egentligen?
Sen kan vi säkert ha en spännande diskussion om vad som får kallas en vektor, men vektorbegreppet blir lite krystat i en dimension. Jag misstänker alltså återigen att du egentligen menar något annat?
Det blev fel. Ändring
Varför är 3 vektorer i planet alltid beroende?
Varför är 2 vektorer i 1 dimension beroende?
3 vektorer som är linjärkombinationer av en bas för planet måste vara linjärt beroende eftersom 3>2. Detta kan man se på följande sätt. Om man låter
Och undersöker villkoret för linjärt beroende ser man att man får ett ekvationssystem med 2 ekvationer och 3 obekanta. Eftersom ett sådant ekvationssystem har icketriviala lösningar måste summan vara linjärt beroende (vi kan hitta minst ett skilt från noll).
Detta bevis kan generaliseras.
Guggle skrev :3 vektorer som är linjärkombinationer av en bas för planet måste vara linjärt beroende eftersom 3>2. Detta kan man se på följande sätt. Om man låter
Och undersöker villkoret för linjärt beroende ser man att man får ett ekvationssystem med 2 ekvationer och 3 obekanta. Eftersom ett sådant ekvationssystem har icketriviala lösningar måste summan vara linjärt beroende (vi kan hitta minst ett skilt från noll).
Detta bevis kan generaliseras.
Jag får bara en enda ekvation
Ja, fast kom ihåg att det är en vektorekvation i två dimensioner. Delar du upp i led och -led får du två ekvationer och tre okända.
Hur får jag 2 ekvationer nu?
u_1( \lambda_1c_{11} + \lambda_2c_{21} + \lambda_3c_{31} ) + u_2( \lambda_1c_{12} + \lambda_2c_{22} + \lambda_3c_{32} ) = 0
Antal ska summeras till 0, antal ska summeras till 0.
Kan du finna icketriviala lösningar till det linjära homogena ekvationssystemet för dina 3 okända () är vektorerna linjärt beroende.