Algebra, lös olikheten.

katten15 skrev:

uppgiften lyder: 

Låt a och b bara två icke-negativa reella tal och låt n vara ett positivt heltal. Visa att: 

${(a+b)}^{n }\le 2^{n-1}(a^n+ b^n)$

Jag har testat att använda AM-Gm satsen och Cauchy-Schwarz olikheten, men jag kommer inte vidare. 

Från AM-Gm satsen har jag fått att: 

${(a+b)}^n\ge 2^{n }({\sqrt{ab)}}^n$

och Cauchy-Schwarz: 

${(a+b)}^n \le {\left(\sqrt{2}\right)}^n{\left(a^2 + b^2\right)}^n$

Jag vet inte om detta är på rätt spår eller hur man ska tänka...

tacksam för svar :)

Spontant skulle jag undersöka om det går att använda ett induktionsbevis.

Någonstans i något bortglömt skrymsle i min hjärna ringer det en liten, liten klocka som säger att det kanske skulle kunna gå att utveckla vänsterledet med binomialsatsen. Kan inte lova något, men det kanske kan ge ett snyggt bevis. :)

tack för svar! Har nu testat att använda induktionsbevis och fått fram följande: 

Jag vill visa att: ${(a+b)}^{k+1} \le 2^k(a^{k+1}+b^{k+1})$

Jag har kommit såhär långt...

${(a+b)}^{k+1}\le 2^{k-1} (a^{k }+ b^k)(a+b)$. Tänkte att jag skulle kunna utveckla högerledet men det leder mig igen vart när faktor 2 har olika potenser. 

Vilket är ditt induktionsantagande? Vilket är dig basfall?

mitt induktionsantagande när n=k är: 

${(a+b)}^k \le 2^{k-1 }(a^k+b^k)$

Basfall när n=1 ger att VL = HL = a+b

Induktionsbevis bör fungera.

Multiplicera ihop parenteserna, sedan reduceras olikheten till en mindre olikhet som du kan hitta ett sätt att visa.