Algebra: har hom(A,B) samma struktur som A och B?

Vilken struktur Hom-mängderna i en kategori har (om de ens är mängder!) är en central fråga i kategoriteoretiska sammanhang, som det finns mycket att säga om. Bland annat pratar man om så kallade berikade kategorier, som är ett viktigt begrepp i modern algebra, och som du kan läsa mer om på nLab ifall du vill få ett smakprov av hur kategoriteori (a.k.a. "abstrakt nonsens") ser ut i praktiken. 

Men okej, låt oss nu adressera ursprungsfrågan!

Eftersom du har nämnt att du var lite nyfiken på kategoriteori så kan vi formulera det lite mer precist så här: Låt $\mathcal{C}$ vara en kategori. Finns det då något "naturligt" (eller kanske snarare: "funktoriellt", men låt oss lämna det därhän tills vidare) sätt att givet två objekt $A,B\in\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ betrakta $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ som ett objekt i $\mathcal{C}$? 

Svaret på den frågan är i allmänhet nej.

Som motexempel kan vi ta kategorin $\mathbf{Ring}$ av ringar (med multiplikativ identitet) och ringhomomorfier. Till exempel är $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/23\mathbb{Z})$ tom (varför?), medan $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ enbart består av ett element (återigen: varför?), och det är per definition omöjligt att utrusta den tomma mängden eller en mängd med enbart ett element med en ringstruktur. (Dessa exempel fungerar även i underkategorin av kroppar.)

I vissa kategorier fungerar det dock. Några exempel:

• Kategorin $\mathbf{Set}$ av mängder och avbildningar mellan mängder.
  Givet två två mängder $A$ och $B$ så är $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(A,B)$ alltid en mängd.
• Kategorin $\mathbf{Vect}_k$ av vektorrum över en kropp $k$ och linjära avbildningar.
  Om $V$ och $W$ är två vektorrum över $k$, så bildar $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Vect}_k}(V,W)$ ett vektorrum över $k$ under punktvis addition och skalning.
• Kategorin $\mathbf{Ab}$ av abelska (dvs. kommutativa) grupper och grupphomomorfier.
  Om $A$ och $B$ är två abelska grupper så bildar $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ab}}(A,B)$ en abelsk grupp under punktvis "addition" (eller vad man nu vill kalla gruppoperationen på $B$).
  [Följdfråga (kanske får vänta tills du har läst mer abstrakt algebra): Fungerar motsvarande konstruktion även i den större kategorin $\mathbf{Grp}$ av grupper (där man inte begränsar sig till abelska grupper).]
• Kategorin $\mathbf{Top}$ av topologiska rum och kontinuerliga avbildningar.
  Här gäller det att de kontinuerliga avbildningarna mellan två rum $A$ och $B$ alltid bildar ett topologiskt rum i sig, där topologin på $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(A,B)$ är den något invecklade kompakt-öppen-topologin.

För svårt! Kan du skriva mer bakgrundsinformation? Tex vad en "kategori" är för nåt?

Om du får möjlighet att läsa lite abstrakt algebra någon gång i framtiden kan du prova att återkomma till den här tråden efter det! Att kunna algebra är inte strikt nödvändigt för att lära sig kategoriteori, men det hjälper!

Om du ändå vill nosa lite på kategoriteori redan nu så är bloggposterna på den här sidan en bra början:

https://www.math3ma.com/categories/category-theory.

Ett till objekt för vilket detta funkar är moduler!

Skärmbild

Qetsiyah skrev:

Ett till objekt för vilket detta funkar är moduler!

...förutsatt att vi jobbar över en kommutativ ring! ^_^

Över icke-kommutativa ringar kan det hända lite konstiga saker. Vi kan återkomma till den här tråden när du har läst lite mer om ringar och moduler, och så kan vi titta på exakt vad som kan gå fel över en icke-kommutativ ring.

Här är bilden. Det står inte i detta lemma, men i början a kompendiet skrev de att alla ringar skulle antas vara kommutativa, så det gäller antaglien också här!

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a). Det finns ingen direkt koppling mellan strukturen av A, B och Hom(A, B), i alla fall ingen som är lätt att skriva upp. 

Det närmaste du kommer en koppling i en allmän kategori är väl Yonedas lemma: för en lokalt liten kategori har du att F=Hom(A,–) bevarar isomorfier på ett naturligt sätt. Om A≅B gäller FA≅FB.

Det räcker med en representativ funktor. D.v.s om y≅F naturligt, gäller det att y bevarar isomorfier: A≅B implicerar yA≅yB. 

BrickTransferUtopia skrev:

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a).

Men påstår du att det också gäller för moduler över ickekommutativa ringar? 

Qetsiyah skrev:

BrickTransferUtopia skrev:

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a).

Men påstår du att det också gäller för moduler över ickekommutativa ringar? 

Ja. Torsion och icke-kommutativitet påverkar inte.

BrickTransferUtopia skrev:

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a).

Ja. Torsion och icke-kommutativitet påverkar inte.

Riktigt så enkelt är det väl inte? Jag föreslår följande motexempel:

• Låt $(R,+,\cdot)$ vara din favorit-icke-kommutativa ring, och låt $r,s\in R$ vara sådana att $r\cdot s\neq s\cdot r$. 
• Betrakta $R$ som en $R$-modul under multiplikation från vänster.
• Frågan vi ställer nu är om $\mathrm{Hom}_R(R,R)$ verkligen är en $R$-modul under skalningsavbildningen $R\times\mathrm{Hom}_R(R,R)\to\mathrm{Hom}_R(R,R)$ med $(a,f)\mapsto a.f$, där $(a.f)(x)=a\cdot f(x)$ för alla $x\in R$.
• Problemet är att $a.f$ i allmänhet inte ens kommer att vara en $R$-linjär avbildning - dvs. $a.f$ kommer inte nödvändigtvis att vara ett element i $\mathrm{Hom}_R(R,R)$.
• Låt $f:R\to R$ vara identitetsavbildningen (som ju helt uppenbart är en modulhomomorfi). Om vi antar att $r.f$ är en modulhomomorfi så får vi motsägelsen att vi å ena sidan har $(r.f)(s)=r\cdot f(s)=r\cdot s$, samtidigt som $R$-linjäriteten å andra sidan ger $(r.f)(s)=(r.f)(s\cdot 1)=s\cdot (r.f)(1)=s\cdot r\cdot f(1)=s\cdot r\cdot 1=s\cdot r$.

oggih skrev:

BrickTransferUtopia skrev:

Om A och B är moduler har Hom(A, B) alltid en modulstruktur genom (r*f+s*g)(a)=rf(a)+sg(a).

Ja. Torsion och icke-kommutativitet påverkar inte.

Riktigt så enkelt är det väl inte? Jag föreslår följande motexempel:

• Låt $(R,+,\cdot)$ vara din favorit-icke-kommutativa ring, och låt $r,s\in R$ vara sådana att $r\cdot s\neq s\cdot r$. 
• Betrakta $R$ som en $R$-modul under multiplikation från vänster.
• Frågan vi ställer nu är om $\mathrm{Hom}_R(R,R)$ verkligen är en $R$-modul under skalningsavbildningen $R\times\mathrm{Hom}_R(R,R)\to\mathrm{Hom}_R(R,R)$ med $(a,f)\mapsto a.f$, där $(a.f)(x)=a\cdot f(x)$ för alla $x\in R$.
• Problemet är att $a.f$ i allmänhet inte ens kommer att vara en $R$-linjär avbildning - dvs. $a.f$ kommer inte nödvändigtvis att vara ett element i $\mathrm{Hom}_R(R,R)$.
• Låt $f:R\to R$ vara identitetsavbildningen (som ju helt uppenbart är en modulhomomorfi). Om vi antar att $r.f$ är en modulhomomorfi så får vi motsägelsen att vi å ena sidan har $(r.f)(s)=r\cdot f(s)=r\cdot s$, samtidigt som $R$-linjäriteten å andra sidan ger $(r.f)(s)=(r.f)(s\cdot 1)=s\cdot (r.f)(1)=s\cdot r\cdot f(1)=s\cdot r\cdot 1=s\cdot r$.

Ajdå, det ser ut som ett motexempel. Jag drar tillbaka mitt påstående.

flyttade ut inlägget från citatrutan så det blir enklare att hänga med i diskussionen. /Dracaena

Jag tror Qetsiyah skulle gilla programmeringsspråket Haskell.

Hmm varför säger du det? Haha

Jag tror det är poppis bland kategoriteoretiker och en modell för I/O använder kategorier på nåt för mig helt obegripligt sätt.

Ja, jag tänkte lära mig det nån gång för att nån sa till mig att jag skulle gilla ett funktionellt programmeringsspråk, blev aldrig av.

Har också hört bra saker om Haskell av kategoriteoretiskt sinnade matematiker i min omgivning! En av många resurser som sägs vara bra för att komma igång är den här kursen:

https://www.cis.upenn.edu/~cis194/spring13/lectures/01-intro.html.