Algebra: grupper eller ringar först?

Börja med grupper. Många satser om ringar följer ur teorin för grupper eftersom ringar är grupper med extra struktur.

Ok! Nu blir det åka av

Jag skulle säga att vilket som fungerar! Fördelen med att börja med grupper är att de är mer generella och att det är färre axiom i definitionen att hålla koll på. Fördelen med att börja med ringar är att de ligger lite närmare vår algebraiska intuition, efter alla år av arbete med heltalen, de rationella talen, polynom och matriser (som alla är exempel på ringar). 

Oavsett vad man är mest sugen på så finns det bra böcker att välja på. Två trevliga och nybörjarvänliga böcker är Judsons "Abstract Algebra: Theory and Applications" (grupper först, fritt tillgänglig här) och Hungerfords "Abstract Algebra: An Introduction" (ringar först). 

Lycka till! Algebra är ett väldigt vackert ämne, som dessutom snabbt (man kommer långt bara med att behärska den grundläggande terminologin) öppnar upp dörrarna för massa mer spännande matematik!

I den ordningen, skulle algebror över kroppar vara de mest strukturerade sturkturerna? Jag minns att du i en av mina trådar kallade monoider för "mycket fattiga" haha.

Algebra är ett väldigt vackert ämne, som dessutom snabbt (man kommer långt bara med att behärska den grundläggande terminologin) öppnar upp dörrarna för massa mer spännande matematik!

Det är det jag märkt!

Edit: eller asså, det är en ren självklarthet, det går absolut inte att inte lära sig om abstrakt algebra. Jag har lyckats sväva förhållandesvis långt åt olika spretiga håll i min utforskning, men fortfarande inte lärt mig någon grupp eller ringteori. Jag känmer mig som en slump-gräsklippare på en oändligt stor gräsmatta. En gång gav AlvinB ett råd till mig, att inte ha särskilt mycket mål med min egna utforskning, utan ta det som känns kul och intressant för stunden, det tycker jag att jag har gjort. 

Qetsiyah skrev:

I den ordningen, skulle algebror över kroppar vara de mest strukturerade sturkturerna? Jag minns att du i en av mina trådar kallade monoider för "mycket fattiga" haha.

Typ. Om man vill kan tänka sig en (partiellt ordnad ;) ) hiearki av matematiska strukturer, där monoider kommer väldigt långt ner (har lite struktur och få axiom), och algebror kommer väldigt högt upp (mycket struktur och många axiom). Men det finns extremare saker i båda riktningarna! Om vi släpper på kravet på att det ska finnas ett identitetselement i definitionen av en monoid får vi en semigrupp. En algebra går att "uppgradera" med extra stuktur på många sätt:

• Man kan slänga in en gradering (ett sätt att alla element i algebran som summor av nolltegradstermer, förstagradstermer, andragradstermer, på ett sådant vis att multiplikation av en $n$:tegradsterm med en $m$:tegradsterm ger en $n+m$:tegradsterm). Det prototypiska exemplet på en graderad algebra är den gamla hederliga polynomalgebran $\mathbb{F}[x]$ av polynom med koefficienter i $\mathbb{F}$.
• Man kan slänga in en topologi och kräva att den ska vara kompatibel med den algbraiska strukturen (i bemärkelsen att additionen, skalningen och multiplikationen ska vara kontinuerliga). Ett prototypiskt exempel på en topologisk algebra är $\mathbb{C}$, där vi får topologin genom att identifera det komplexa talplanet med det euklidiska planet $\mathbb{R}^2$.
• Man slänga in fler operationer! I det jag sysslar med just nu (kategorifiering av knutinvarianter) spelar en viss så kallad Frobeniusalgebra en avgörande roll i en av de viktigaste konstruktionerna (Khovanovhomologi). Med detta menar man en algebra, där det förutom addition, skalning och multiplikation finns en multiplikativ identitiet, en komultiplikation och en koidentitet. 
• Man kan också helt enkelt bara lägga till fler axiom, t.ex. kan man kräva antisymmetri och att Jacobiidentiteten ska uppfyllas, vilket ger en Lie-algebra (vilket vi har diskuterat i någon tidigare tråd).

Här är en liten, liten bild av det här stora trädet av olika de matematiska strukturer som kan byggas ovanpå en mängd:

Jag känmer mig som en slump-gräsklippare på en oändligt stor gräsmatta. En gång gav AlvinB ett råd till mig, att inte ha särskilt mycket mål med min egna utforskning, utan ta det som känns kul och intressant för stunden, det tycker jag att jag har gjort. 

Det låter som ett klokt råd! Matematikämnet är närmast överväldigande stort och samtidigt väldigt sammanlänkat. Det är både lite jobbigt (hur mycket du än pluggar kommer du aldrig förstå mer än några små delar här och där, och väldigt mycket av det du inte kan kommer vara relevant för vad du än försöker ge dig på härnäst), men också en välsingelse (det finns alltid massor av spännande saker att utforska, och oavsett vad du lär dig så kommer du nästan garanterat få nytta av det på någon framtida upptäcktsfärd, kanske när du minst anar det!).

Kan man sätta namn på olika strukturer? (Eller som jag kallade det förrut, "kryddor" för att spica upp matten)

Det verkar finnas

• Operationer (här tillkommer egenskaper hos operationerna och identitetselement) mellan element.
• relationer mellan element (en tex en partiell ordning)
• Att den "använder" en annan mängd, som vektorrum gör.

Vad ska jag kalla graderingen du nämnde? Den passar ingenstans. Man inför etiketter som ska fungera på ett speciellt sätt med operationerna? Att kategorisera element utan extra krav är väl bara att skapa delmängder? Ganska godtyckligt alltså.

Och att införa en topologi... är det ett krav på operationerna?

[...] (partiellt ordnad ;) ) [...]

Hahaha

Det låter som ett klokt råd! Matematikämnet är närmast överväldigande stort och samtidigt väldigt sammanlänkat. Det är både lite jobbigt (hur mycket du än pluggar kommer du aldrig förstå mer än några små delar här och där, och väldigt mycket av det du inte kan kommer vara relevant för vad du än försöker ge dig på härnäst), men också en välsingelse (det finns alltid massor av spännande saker att utforska, och oavsett vad du lär dig så kommer du nästan garanterat få nytta av det på någon framtida upptäcktsfärd, kanske när du minst anar det!).

Ja... en sån rikedom, obeskrivlig. Tänk att jag kan få det intrycket utan att ha sett så mycket egentligen. Jag får samma känsla när jag är i (icke-skönlitterära (delar av)) bibliotek (händer inte ofta men när det väl händer). Att böcker med kunkskap från samma ämne kan fylla ut hela hyllor eller avdelningar gör det så fysiskt och verkligt. Det kanske är så att de överlappar eller så men ändå. 

Inget slår dock mitt studiebesök till Mittag Leffler institutet vilket är i en villa som jag tror att Gösta Mittag Leffler bodde i själv. Alltså hela huset var fyllt med matematikböcker, tydligt utmarkerat vilka ämnen de tillhörde. Ett rum hade samtliga tryckningar av ACTA MATEMATICA sedan något 19xx år, och andra tidsskrifter. Det var en upplevelse det. Jag försökte hitta en bok under "reell analys" som jag förstod, eftersom reell analys nästan var det enda området vars namn jag kände igen. Det gick inte så bra. Jag minns även att ettiketterna med reell respektive komplex analys förkortades på lite roliga sätt, fastän det mycket väl fanns plats att skriva ut hela namnet. "Analys" är ett lite olyckligt ord. Jag upptäckte det medan rundtursvisaren höll på att prata och kunde inte hålla mig för skratt.

Börja med grupper. Många satser om ringar följer ur teorin för grupper eftersom ringar är grupper med extra struktur.

Det parveln skrev stämmer säkert, så vad ska jag göra med de satserna då? Finns det även exempel på motsatsen?

Citering förtydligad. /Smutstvätt, moderator

Qetsiyah skrev:

Kan man sätta namn på olika strukturer? (Eller som jag kallade det förrut, "kryddor" för att spica upp matten)

Det verkar finnas

• Operationer (här tillkommer egenskaper hos operationerna och identitetselement) mellan element.
• relationer mellan element (en tex en partiell ordning)
• Att den "använder" en annan mängd, som vektorrum gör.

Vad ska jag kalla graderingen du nämnde? Den passar ingenstans. Man inför etiketter som ska fungera på ett speciellt sätt med operationerna? Att kategorisera element utan extra krav är väl bara att skapa delmängder? Ganska godtyckligt alltså.

Och att införa en topologi... är det ett krav på operationerna?

[...] (partiellt ordnad ;) ) [...]

Hahaha

Jag tror vad du söker är något i stil med kapitel 4 av Bourbakis Théorie des ensembles.

Qetsiyah skrev:

Kan man sätta namn på olika strukturer? (Eller som jag kallade det förrut, "kryddor" för att spica upp matten)

Det verkar finnas

• Operationer (här tillkommer egenskaper hos operationerna och identitetselement) mellan element.
• relationer mellan element (en tex en partiell ordning)
• Att den "använder" en annan mängd, som vektorrum gör.

Vad ska jag kalla graderingen du nämnde? Den passar ingenstans. Man inför etiketter som ska fungera på ett speciellt sätt med operationerna? Att kategorisera element utan extra krav är väl bara att skapa delmängder? Ganska godtyckligt alltså.

Bra frågor. Jag har aldrigt stött på någon elegant allmän systematisering av vilka olika typer av "strukturer" man kan lägga på en mängd, men det du har där ser ut som en bra början!

Och att införa en topologi... är det ett krav på operationerna?

En topologi på en mängd $X$ är en mängd som talar om vilka delmängder av $X$ som är öppna. Har du både en topologi och en gruppoperation $\star\colon X\times X\to X$, så kan man kräva att dessa två strukturer ska vara "kompatibla" med varandra, i bemärkelsen att avbildningen $\star\colon X\times X\to X$ ska vara en kontinuerlig (när $X\times X$ utrustas med produkttopologin). Det man får då kallas för en topologisk grupp. (På motsvarande vis kan man definiera topologiska magmor, vektorrum, algebror etc.) 

Så ja, att införa en topologi och sedan använda den för att kräva något av operationerna är vanligt. Man kan även införa mer sofistikerade strukturer, som till exempel en atlas (så att ens rum blir en slät mångfald), och sedan kräva att ens operationer ska vara kompatibla med denna (i bemärkelsena att de är släta avbildningar).

Ja... en sån rikedom, obeskrivlig. Tänk att jag kan få det intrycket utan att ha sett så mycket egentligen. Jag får samma känsla när jag är i (icke-skönlitterära (delar av)) bibliotek (händer inte ofta men när det väl händer). Att böcker med kunkskap från samma ämne kan fylla ut hela hyllor eller avdelningar gör det så fysiskt och verkligt. Det kanske är så att de överlappar eller så men ändå. 

Inget slår dock mitt studiebesök till Mittag Leffler institutet vilket är i en villa som jag tror att Gösta Mittag Leffler bodde i själv. Alltså hela huset var fyllt med matematikböcker, tydligt utmarkerat vilka ämnen de tillhörde. Ett rum hade samtliga tryckningar av ACTA MATEMATICA sedan något 19xx år, och andra tidsskrifter. Det var en upplevelse det. Jag försökte hitta en bok under "reell analys" som jag förstod, eftersom reell analys nästan var det enda området vars namn jag kände igen. Det gick inte så bra.

Jag har också haft den stora glädjen att göra ett studiebesök på Institut Mittag-Leffler, men det var många år sedan. Väldigt mycket gåshud av deras bibliotek! Tänker på det varje gång jag har glädjen att läsa någon artikel publicerad i Acta Matematica (som grundades av Mittag-Leffner själv 1882).

Jag minns även att ettiketterna med reell respektive komplex analys förkortades på lite roliga sätt, fastän det mycket väl fanns plats att skriva ut hela namnet. "Analys" är ett lite olyckligt ord. Jag upptäckte det medan rundtursvisaren höll på att prata och kunde inte hålla mig för skratt.

Haha :D

Det om topologier: okej!! "Gruppoperation" är då lite starkare än bara "binär operation", med associativitet, identitet och invers?

Om jag en dag kan läsa en seriösa forskningsartiklar i ren matte...

Förresten, att säga att "krydda" mängder med struktur verkar ursprungligen vara din uppfinning. Det var ett bra ord.

Qetsiyah skrev:

Det om topologier: okej!! "Gruppoperation" är då lite starkare än bara "binär operation", med associativitet, identitet och invers?

Precis! En mängd $X$ med enbart en binär operation $\star\colon X\times X\to X$ utan några krav (annat än slutenhet) kallas ibland för en magma. En grupp är en magma där operationen dessutom uppfyller de extra kraven associativitet, existens av identitetselement och existens av multiplikativa inverser.

Förresten, att säga att "krydda" mängder med struktur verkar ursprungligen vara din uppfinning. Det var ett bra ord.

Jag tror det uttrycket kommer från dig själv från början!