Algebra & diskret matematik (ekvation c)

Har jag tänkt rätt på deluppgiften nedan?

$x (1 - x) = 2 x - x \sqrt{1 - x} x \sqrt{1 - x} + x (1 - x) = 2 x x \sqrt{1 - x} + x - x^{2} = 2 x x \sqrt{1 - x} = 2 x - x + x^{2} x \sqrt{1 - x} = x + x^{2} (x \sqrt{1 - x})^{2} = (x + x^{2})^{2} x^{2} (1 - x) = x^{2} + 2 x^{3} + x^{4} x^{2} - x^{3} = x^{2} + 2 x^{3} + x^{4} s t r y k x^{2} f r å n b å d a l e d e n - x^{3} = 2 x^{3} + x^{4} - x^{3} - 2 x^{3} - x^{4} = 0 - 3 x^{3} - x^{4} = 0 - x^{3} (3 + x) = 0 - x^{3} = 0 x = 0 3 + x = 0 x = - 3$

Får då detta när jag kontrollerar:

$0 (1 - 0) = 2 \times 0 - 0 \sqrt{1 - 0} 0 = 0 - 3 (1 - (- 3)) = 2 \times (- 3) - (- 3) \sqrt{1 - (- 3)} - 12 = 0 x = 0 x \neq - 3$

Jag tycker att det ser rätt ut.

Bonusfråga: var kom den falska lösningen -3 ifrån?

Redigerat: Jag läste fel när jag skrev nedanstående. Se kommentar senare i tråden!

Ja, typ. Du har fått rätt svar, men det ser lite ut som om det bara är tur att du inte har missat ett.

När du skriver " $s t r y k x^{2} f r å n b å d a l e d e n$ " så stryker du också lösningen x = 0. Sedan fortsätter du med en annan ekvation, som också har lösningen x=0. Men hade du kommit ihåg det "första" x = 0 annars?

Det är därför man aldrig ska "stryka x från båda led"! Om du till exempel har:

$x (x + 2) = x (2 x - 3)$

så ska du inte stryka x och gå vidare med

$x + 2 = 2 x - 3$ , för då missar du x = 0!

Gör i stället så här:

$x (x + 2) = x (2 x - 3) x (x + 2) - x (2 x - 3) = 0 x ((x + 2) - (2 x - 3)) = 0 x (x + 2 - 2 x + 3) = 0 x (- x + 5) = 0 N o l l p r o d u k t s m e t o d e n g e r d e t v å e k v a t i o n e r n a x = 0 o c h - x + = 0$

På så sätt riskerar du inte att "förkorta bort" en lösning!

Sen kan man konstatera att det hade blivit enklare räkning om du börjat med att se att x var en faktor i alla termer, och att därför x=0 var en lösning. Då (men inte förr) hade du kunnat dividera bort x ur alla termer, och lösa den enklare ekvationen $\sqrt{1-x}=2-(1-x)$ . Men det här gick ju också bra.

SvanteR skrev:
När du skriver " $s t r y k x^{2} f r å n b å d a l e d e n$ " så stryker du också lösningen x = 0. Sedan fortsätter du med en annan ekvation, som också har lösningen x=0. Men hade du kommit ihåg det "första" x = 0 annars?

Fast det här är inte sant, eftersom "stryk" i det här fallet betydde subtrahera och inte dividera. Det är safe att göra utan att bli av med lösningar. Det är division som är det farliga.

haraldfreij skrev:
SvanteR skrev:
När du skriver " $s t r y k x^{2} f r å n b å d a l e d e n$ " så stryker du också lösningen x = 0. Sedan fortsätter du med en annan ekvation, som också har lösningen x=0. Men hade du kommit ihåg det "första" x = 0 annars?

Fast det här är inte sant, eftersom "stryk" i det här fallet betydde subtrahera och inte dividera. Det är safe att göra utan att bli av med lösningar. Det är division som är det farliga.

Det har du rätt i, det gick lite fort där!

Okej, så är denna uträkningen bättre i detta fall?

$x (1 - x) = 2 x - x \sqrt{1 - x} x_{1} = 0 \sqrt{1 - x} = 2 - (1 - x) \sqrt{1 - x} = 2 - 1 + x \sqrt{1 - x} = 1 + x 1 - x = 1 + 2 x + x^{2} - x = 2 x + x^{2} - x - 2 x - x^{2} = 0 - 3 x - 2 x - x^{2} = 0 - x (3 + x) = 0 - x = 0 x_{2} = 0 3 + x = 0 x_{3} = - 3$

Så här skulle jag göra:

$x (1 - x) = 2 x - x \sqrt{1 - x}$

$x (1 - x) - 2 x + x \sqrt{1 - x} = 0$

$x ((1 - x) - 2 + \sqrt{1 - x}) = 0$

Nollproduktmetoden ger att $x_{1} = 0$ eller $((1 - x) - 2 + \sqrt{1 - x} = 0$

sätt $\sqrt{1 - x} = t$ så får man andragradsekvationen

$t^{2} - 2 + t = 0$ d v s $t^{2} + t - 2 = 0$

PQ-formeln ger (hoppar över lite) $t_1=1$ och $t_2=-2$ , d v s $x=1-t^2$ så $x_2=1-1^2=0$ och $x_3=1-(-2)^2=-3$ . Kolla alla rötter i ursprungsekvationen.

För övrigt: Det finns inget räknesätt som heter "stryk", eller för den delen "flytta över". Skriv vad det verkligen är du gör istället!

Nu förstår jag, tackar!

Svara

Visa senaste svar