Algebra

Du har två punkter i planet och kan således få fram en vektor mellan dem. Du har även linjens ekvation och kan få fram godtyckliga punkter på linjen genom att variera t. Vilket förhållande måste planets normal ha till linjen (hint: vektorn mellan två godtyckliga punkter) för att planet ska vara parallellt med linjen?

De 2 punkterna ger dig en linje (med en riktningsvektor). Ett plan kan definieras av 2 (linjärt oberoende) vektorer. Den ena har du via punkterna. Då gäller det att hitta en vektor till. Jag vet inte hur lätt det är att se men riktningsvektorn för L är en sådan vektor (om de 2  är oberoende). Man kanske kan tänka så här:

Du har ett plan som innehåller linjen med de 2 punkterna. Detta plan kan rotera fritt kring linjen. Om du då roterar planet så att det är parallellt med L (L skär inte planet). Då kan du parallellförflytta L:s riktningsvektor in i planet, d.v.s. den kan användas för att definiera planet.

Om du har en normalvektor $\overrightarrow{n}$ till planet, hur förhåller den sig till en riktningsvektor till linjen L?

Parallell? Ortogonal?

Normalvektorer kommer i nästa kapitel.

Svaret skall vara:  5x-3y-14z=0

Jag förutsätter att vi arbetar med planets ekvation på parameterfri form.

Jag ritar en figur med dina ingångsdata:

Planets ekvation: $\mathbf{n}\bullet \overline{P_0P}=0$, där

P är en godtycklig punkt i planet.

Vektorn v är linjens riktningsvektor, eller hur?

Bestäm med vektorprodukt planets normalvektor enligt ovan.

Sedan avslutar du med att bestämma planets ekvation enligt ovan.

Kan du gå vidare på egen hand?

Anm: Alternativt kan planets ekvation uttryckas på parameterform:

$\overline{P_0P}=s\cdot \mathbf{v}+t\cdot \overline{P_0S}$.

Jag använder mig av linjär algebra av Karl gustav Andersson kapitel 2, dvs normalvektorer osv ska inte användas i lösningen.

Vilket program används för att plotta upp vektorerna? 

Aha, jo jag har kikat i Andersson. Då bör du ha någorlunda färdighet i begreppet linjärkombinationer.

M a o ska du bestämma planets ekvation på parameterform, enligt mitt tidigare svar.

$\overline{P_0P}=s\cdot\mathbf{v}+t\cdot \overline{P_0S}$.

Från detta ska du lösa ut den parameterfria ekvationen.

Kan tyckas lite omständligt, när du så småningom inser vilka kraftfulla verktyg du har i kryss- resp. skalärprodukten.

Mina figurer är egenkonstruerade i LaTeX.

Om jag inte räknat fel, får jag planets ekv till

5x-3y-14z+60=0.

Generellt: Om någon vektor kan uttryckas som en linjärkombination av de övriga, då är vektorerna linjärt beroende.

Däremot har vi två vektorer, där en av vektorerna kan skrivas som en linjärkombination av den andra (linjärt beroende), då är den ena en multipel av den andra, dvs parallella! 

Dvs, linjens riktningsvektor samt en utav planets riktningsvektor (som jag förhoppningsvis kan få från mina två punkter) skall då kunna uttryckas som en linjärkombination av den andra. (eftersom de ska vara parallella) 

Det jag tänker nu är att det kan finnas två alternativ för planet och linjen, "Det ena är att linjen är i planet, alt utanpå." Hur ska jag tänka här? Hur ställer jag upp en ekvation för linjen och mitt plan för de båda fallen? (För linjen i planet respektive utanpå, dvs: för oändligt många lösningar respektive när det saknas lösningar). 

Jag har ingen som helst erfarenhet av den är typen av uppgifter, jag behöver veta hur jag ska tänka vid lösningsgången... (antar att jag rör till det nu...)

Som du kanske känner till, gäller följande:

Två vektorer i planet är en bas $\Leftrightarrow$ vektorerna är linjärt oberoende.

Du har mycket riktigt konstaterat: Två vektorer är linjärt beroende $\Leftrightarrow$ vektorerna är parallella.

Ett plan i rummet bestäms entydigt om man dels känner

(a)  en punkt $P_0$ i planet,

dels känner

(b) två vektorer $\mathbf{v_1}$ och $\mathbf{v_2}$, som är parallella med planet men ej parallella med varann.

En konsekvens av detta är att en godtyckligt vald

punkt $P$ ligger i planet om och endast om

$\overline{P_0P}=s \mathbf{v_1}+t \mathbf{v_2}$.

$\overline{P_0P}$ kan skrivas som en linjärkombination av $\mathbf{v_1}$ och $\mathbf{v_2}$.

"Det ena är att linjen är i planet, alt utanpå."

(1) Linjen i planet. Då innebär det att alla punkter på linjen också ligger i planet. Dessutom linjens riktningsvektor.

(2) Linjen utanför, men parallell med planet. Enligt Peters svar, kan och får du parallellförflytta linjens riktningsvektor så, att "en kopia"  ligger i planet. Detta är en viktig egenskap hos vektorer. Se definition i läroboken.

Däremot ligger linjens punkter utanför planet. Viktigt att komma ihåg.

Är vi någorlunda överens?

Dessa två fall beskriver de olika trådar du ställt frågor på, eller hur?