Algebra
Frågan lyder följande
För vilka polynom p(x) gäller att p(p(x))+p(x)=x^4+3x^2+3 för alla reella x?
Jag har tänkt följande
Om p(x) är av grad n är p(p(x)) av grad 2n. p(x) måste då vara av grad 2 så p(x) = x^2 + bx + c. Exempelvis blir då
p(p(x)) = (x^2 + bx + c)^2 + b(x^2 + bx + c) + c.
Det som då kvarstår är uträkningen men vet inte hur jag ska göra
Som du har noterat måste koefficient framför x^2 vara 1 för att koefficienten framför x^4 ska vara 1. För att lösa ut b och c kan du helt enkelt utveckla kvadraten och sen gruppera termerna efter vilken x-potens som står framför dem.
Multiplicera ihop det som skall multipliceras ihop, och sortera x4-termer för sig, x3-termer för sig, x2-termer, x-termer och konstanttermer. Jämför med ursprungsfrågan - du ser att koefficienten för x4-termen skall vara 1, koefficienten för x3-termen är 0, x2-termen är 3, x-termen är 0 och konstanttermen är 3. Du får ett ekvationssystem du kan lösa.
Smaragdalena skrev:Multiplicera ihop det som skall multipliceras ihop, och sortera x4-termer för sig, x3-termer för sig, x2-termer, x-termer och konstanttermer. Jämför med ursprungsfrågan - du ser att koefficienten för x4-termen skall vara 1, koefficienten för x3-termen är 0, x2-termen är 3, x-termen är 0 och konstanttermen är 3. Du får ett ekvationssystem du kan lösa.
om jag utvecklar kvadraten får jag att p(p(x))= c(2bx+b+2x^2+1)+x(b+x)+(bx+b+x^2)+c^2
Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
Laguna skrev:bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
2bx^3
bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
2bx^3
Nej, det är 2b som är koefficienten. Vad vet du om koefficienten för x^3-termen från den ursprungliga frågan?
Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
2bx^3
Nej, det är 2b som är koefficienten. Vad vet du om koefficienten för x^3-termen från den ursprungliga frågan?
okej att x3 koefficienten är 0
bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
2bx^3
Nej, det är 2b som är koefficienten. Vad vet du om koefficienten för x^3-termen från den ursprungliga frågan?
okej att x3 koefficienten är 0
Då vet du b.
Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
2bx^3
Nej, det är 2b som är koefficienten. Vad vet du om koefficienten för x^3-termen från den ursprungliga frågan?
okej att x3 koefficienten är 0
Då vet du b.
ja och vad ska jag göra efter det?
bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
2bx^3
Nej, det är 2b som är koefficienten. Vad vet du om koefficienten för x^3-termen från den ursprungliga frågan?
okej att x3 koefficienten är 0
Då vet du b.
ja och vad ska jag göra efter det?
Förenkla allt du har fått fram tidigare, och fortsätta.
Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
2bx^3
Nej, det är 2b som är koefficienten. Vad vet du om koefficienten för x^3-termen från den ursprungliga frågan?
okej att x3 koefficienten är 0
Då vet du b.
ja och vad ska jag göra efter det?
Förenkla allt du har fått fram tidigare, och fortsätta.
ska jag förenkla b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c och få fram c?
bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Laguna skrev:bananis98 skrev:Smaragdalena skrev:Fortsätt så som jag beskrev. Vilken koefficient för du för x3-termen?
Jag får då b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c
Kanske det (jag har inte kontrollerat) men jag ser bara en x3-term. Vad har den för koefficient?
2bx^3
Nej, det är 2b som är koefficienten. Vad vet du om koefficienten för x^3-termen från den ursprungliga frågan?
okej att x3 koefficienten är 0
Då vet du b.
ja och vad ska jag göra efter det?
Förenkla allt du har fått fram tidigare, och fortsätta.
ska jag förenkla b^2x^2+2bx^3+x^4+b^2x+2bcx+bx^2+2cx^2+bc+c^2+c och få fram c?
C är 3
Det kan ha blivit något fel i dina utvecklingar. Gå igenom dem igen. Glöm inte bort att det står + p(x) också.
Laguna skrev:Det kan ha blivit något fel i dina utvecklingar. Gå igenom dem igen. Glöm inte bort att det står + p(x) också.
räknade inte c till att det var 3 utan det stod så här som någon har skrivit längre upp Multiplicera ihop det som skall multipliceras ihop, och sortera x4-termer för sig, x3-termer för sig, x2-termer, x-termer och konstanttermer. Jämför med ursprungsfrågan - du ser att koefficienten för x4-termen skall vara 1, koefficienten för x3-termen är 0, x2-termen är 3, x-termen är 0 och konstanttermen är 3. Du får ett ekvationssystem du kan lösa.
