Äggkartonger

Hur löste du (a)? :)

Summan av n normalfördelade variabler $X_1, ... , X_n$ med medelvärdena ${\mu }_1, ... , {\mu }_n$ och standardavvikelserna ${\sigma }_1, ... , {\sigma }_n$ är normalfördelad med fördelningen $N\left(\sum _{i=1}^n{\mu }_i , \sqrt{\sum _{i=1}^n{\left({\sigma }_i\right)}^2}\right)$. 

Smutstvätt skrev:

Hur löste du (a)? :)

Summan av n normalfördelade variabler $X_1, ... , X_n$ med medelvärdena ${\mu }_1, ... , {\mu }_n$ och standardavvikelserna ${\sigma }_1, ... , {\sigma }_n$ är normalfördelad med fördelningen $N\left(\sum _{i=1}^n{\mu }_i , \sqrt{\sum _{i=1}^n{\left({\sigma }_i\right)}^2}\right)$. 

Aha, jag gjorde nog fel där då? Tog 1150/20=57.5 och beräknade sedan P(Y<57.5). Men hur vet jag u1,u2 osv detsamma med standardavvikelserna 1,2,3 osv?

Jag vet inte om det nödvändigtvis blir fel, men det är ett extrasteg i alla fall. :)

Medelvärdet och standardavvikelsen anses vara densamma för alla ägg – det är ingen större skillnad mellan sannolikheten att ägg A väger mer än 60 gram och sannolikheten att ägg B väger mer än 60 gram. Så medelvärdet är 60 gram och standardavvikelse 5 gram för alla ägg. :)

Smutstvätt skrev:

Jag vet inte om det nödvändigtvis blir fel, men det är ett extrasteg i alla fall. :)

 

Medelvärdet och standardavvikelsen anses vara densamma för alla ägg – det är ingen större skillnad mellan sannolikheten att ägg A väger mer än 60 gram och sannolikheten att ägg B väger mer än 60 gram. Så medelvärdet är 60 gram och standardavvikelse 5 gram för alla ägg. :)

Förlåt om jag är lite trög men förstår inte helt var jag ska börja.. Ska man typ räkna P(18*60<Y<20*60)?

Du är inte trög, och du behöver inte be om ursäkt! 

Vikten av varje ägg är normalfördelad med fördelningen $N\left(60,5\right)$. Vi har (i b-uppgiften) nitton ägg med denna fördelning. Givet att alla fördelningar är oberoende av varandra, är summor av normalfördelade variabler är också normalfördelade, med fördelningen jag skrev ovan i tråden. Och vikten av ett ägg påverkar inte rimligtvis vikten av något annat ägg, så det gäller i vårt fall.

För oss ger det fördelningen $X\in N\left(60·19, \sqrt{19·5^2}\right)=N(1140, \sqrt{475})\approx N(1140, 21,79)$. 

Vi vill nu veta vad sannolikheten är att denna kartong X slinker igenom kontrollen, alltså att den väger minst 1150 gram. Vad är $P(X\ge 1150)$? :)

Smutstvätt skrev:

Du är inte trög, och du behöver inte be om ursäkt! 

Vikten av varje ägg är normalfördelad med fördelningen $N\left(60,5\right)$. Vi har (i b-uppgiften) nitton ägg med denna fördelning. Givet att alla fördelningar är oberoende av varandra, är summor av normalfördelade variabler är också normalfördelade, med fördelningen jag skrev ovan i tråden. Och vikten av ett ägg påverkar inte rimligtvis vikten av något annat ägg, så det gäller i vårt fall.

För oss ger det fördelningen $X\in N\left(60·19, \sqrt{19·5^2}\right)=N(1140, \sqrt{475})\approx N(1140, 21,79)$. 

Vi vill nu veta vad sannolikheten är att denna kartong X slinker igenom kontrollen, alltså att den väger minst 1150 gram. Vad är $P(X\ge 1150)$? :)

z=(1150-1140)/21.79=0.46 ungefär. P=1-0.67724=0.32276. Är det rätt? tror jag förstår isåfall!

Det ser bra ut! Snyggt! ☺️

Vi kan göra en snabb överslagsräkning för att se om vårt svar verkar rimligt: 

1140 gram är 10 gram ifrån 1150 gram, som vi söker. Det är ungefär hälften av en standardavvikelse. Andelen av en population som ligger mellan medelvärdet och en standardavvikelse över medelvärdet utgör cirka 35%. Ovanför det utgör cirka 13 respektive 2 procent av populationen.

Halva standardavvikelsen över medelvärdet borde då utgöra kanske 20 procent av populationen (kurvan är som högst precis runt medelvärdet). Det ger oss att minst 1/2 standardavvikelse ovanför medelvärdet borde utgöra cirka $(35-20)+13+2$ av populationen. Vårt svar är 32%, vilket verkar vara ett rimligt svar. :)

Smutstvätt skrev:

Det ser bra ut! Snyggt! ☺️

Vi kan göra en snabb överslagsräkning för att se om vårt svar verkar rimligt: 

1140 gram är 10 gram ifrån 1150 gram, som vi söker. Det är ungefär hälften av en standardavvikelse. Andelen av en population som ligger mellan medelvärdet och en standardavvikelse över medelvärdet utgör cirka 35%. Ovanför det utgör cirka 13 respektive 2 procent av populationen.

Halva standardavvikelsen över medelvärdet borde då utgöra kanske 20 procent av populationen (kurvan är som högst precis runt medelvärdet). Det ger oss att minst 1/2 standardavvikelse ovanför medelvärdet borde utgöra cirka $(35-20)+13+2$ av populationen. Vårt svar är 32%, vilket verkar vara ett rimligt svar. :)

Tack så sjukt mycket!!!:D

Varsågod! Kul att det kunde vara till hjälp!