Adjungerande operatorn

Detta är utanför mitt kompetensområde är jag rädd, men är inte t reellt; t går ju från 0 till oändligheten. I så fall är t-konjugat lika med t.

Det låter rimligt, tack.

$t$ är en reell variabel, vi ska ju tydligen kunna integrera $t$ från 0 till $\infty$.

För reella tal gäller att $\bar{t}=t$.

Ett element i V, säg p(t) = a_it^i, där a_i tillhör kroppen, alltså C. t^i (basvektorerna) i sig tillhör ju inte C, De tillhör spannet{1, t^2, t^3,....} som spänner upp V. Om vi konjugerar ett element i V så är det koefficienterna vi konjugerar.

Att studera problemet i en "bas" här kan vara en rolig julsysselsättning, om än lite överkurs.

En intressant detalj med den här adjunkten är att den kräver att $V$ är av dimension $n+1$ om $V$ är av ändlig dimension $n$.

Och för oändligt antal dimensioner blir det matematiskt intressant att lösa den med basvektorer.

Om matrisen $A$ representerar operatorn $L$ gäller att matrisen för den adjungerade operatorn $L^\dag$ ges av det hermiteska konjugatet $\left(A^{\dag}\right)_{ij}=\overline{A_{ji}}$

Problemet är att om g är ett fullt polynom av grad $n$ så tränger adjunkten ut ur rummet

$L^\dag(g)=(t-1)g-tg^\prime$

eftersom polynomet $tg$ måste vara av grad $n+1$ om $g\in V$ är av grad $n$

Vill man nu försöka lösa uppgiften med en  bas måste basen vara ortonormal. Ett lämpligt val kan vara en oändlig uppsättning Laguerrepolynom:

$L_0=1$

$L_1=1-x$

$L_2=1-2x+x^2/2$

...

Ytterligare en ledtråd är Riesz. Lycka till!