Additions och subtraktionsformler

Skriv t.ex. cos(u+v) som cos(u - (-v)) och använd din formel för cos(u-v), alltså byt ut v mot -v överallt.

Okej men hur vet man att man ska göra så?

Har ritat upp en enhetscirkel här och försökt pricka in allting..

Men jag förstår inte hur jag ska skriva in cosinusvärden för att beskriva sträckan PQ eftersom det beror på I vilken kvadrant u och v hamnar i?

Vill ju inte ställa någon fråga nu efter det där fina visuella beviset nu men varför är vinkeln på den ofärgade triangeln = a ? 

Eller ja gör man en till 90° triangel bredvid den blåa så kommer likformighet ge att den triangeln har vinkel a vid "spetsen" som sen leder till att den ofärgade har samma vinkel a i och med räta linjer som går mellan. Alternatvinklar som du skriver är väl rätta termen för det

Ett förslag på ett rent algebraiskt sätt (finns säkert mycket mer eleganta än denna, jag kom på den nu) att visa additionsformlerna för sinus från additionsformeln från cosinus, vilket du redan känner till kan gå såhär:

Bara räkna lite vinklar i trianglar.

Den omärkta vinkeln i den blå triangeln är ${90}^{\circ }-\alpha$.

Den lodräta linjen ger en rak vinkel. Om den grå vinkel är g, då ${180}^{\circ }=\left({90}^{\circ }-\alpha \right)+{90}^{\circ }+g$.

Förenklingen ger $g=\alpha$

MaKe skrev:

Bara räkna lite vinklar i trianglar.

Den omärkta vinkeln i den blå triangeln är ${90}^{\circ }-\alpha$.

Den lodräta linjen ger en rak vinkel. Om den grå vinkel är g, då ${180}^{\circ }=\left({90}^{\circ }-\alpha \right)+{90}^{\circ }+g$.

Förenklingen ger $g=\alpha$

Ja, just det. Tack.

AlexMu skrev:

Ett förslag på ett rent algebraiskt sätt (finns säkert mycket mer eleganta än denna, jag kom på den nu) att visa additionsformlerna för sinus från additionsformeln från cosinus, vilket du redan känner till kan gå såhär:

Visa spoiler

Vi utgår från $\sin(\alpha - \beta)$
Eftersom $\cos(90^\circ- \alpha) = \sin{\alpha}$ kan vi skriva $\sin(\alpha - \beta)$ som
$\cos(90^\circ-(\alpha - \beta)) = \cos(90^\circ-\alpha + \beta) = \cos((90^\circ+\beta)-\alpha)$
Detta kan vi expandera med additionsfomeln för cosinus där vi låter den första vinkeln vara $90^\circ + \beta$ och den andra vara $\alpha$. Vi får följande: 
$\cos((90^\circ+\beta)-\alpha) = \cos(90^\circ + \beta) \cdot \cos{\alpha} +\sin(90^\circ + \beta) \cdot \sin{\alpha}$
De två intressanta delarna av detta uttryck är
$\cos(90^\circ + \beta)$ och $\sin(90^\circ + \beta)$

Vi kan expandera $\cos(90^\circ + \beta)$ med additionsformeln: 
$\cos(90^\circ + \beta) = \cos{90^\circ} \cos{\beta} - \sin{90^\circ}\sin{\beta} = 0\cdot \cos{\beta} - 1\cdot\sin{\beta} = -\sin{\beta}$ 
För $\sin(90^\circ + \beta)$ kan vi använda att $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin{\alpha}$
Då blir $\sin(90^\circ + \beta) = \sin(180^\circ - (90^\circ + \beta)) = \sin(180^\circ - 90^\circ - \beta) =\sin(90^\circ - \beta)= \cos{\beta}$

Då får vi tillslut att uttrycket från början: $\sin(\alpha - \beta) = \cos(90^\circ + \beta) \cdot \cos{\alpha} +\sin(90^\circ + \beta) \cdot \sin{\alpha}$
Är lika med:
$-\sin{\beta} \cos{\alpha} + \cos{\beta} \sin{\alpha}$
Alltså får vi slutligen att
$\sin(\alpha - \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} - \sin{\beta}\cos{\alpha}$
Vi kan visa $\sin(\alpha + \beta)$ genom att lägga in $-\beta$ i formeln

Tack Alex!

Men det är alldeles för svårt för mig att hänga med. Hoppas det var givande för dig att skriva.

Dkcre skrev:

AlexMu skrev:

Ett förslag på ett rent algebraiskt sätt (finns säkert mycket mer eleganta än denna, jag kom på den nu) att visa additionsformlerna för sinus från additionsformeln från cosinus, vilket du redan känner till kan gå såhär:

Visa spoiler

Vi utgår från $\sin(\alpha - \beta)$
Eftersom $\cos(90^\circ- \alpha) = \sin{\alpha}$ kan vi skriva $\sin(\alpha - \beta)$ som
$\cos(90^\circ-(\alpha - \beta)) = \cos(90^\circ-\alpha + \beta) = \cos((90^\circ+\beta)-\alpha)$
Detta kan vi expandera med additionsfomeln för cosinus där vi låter den första vinkeln vara $90^\circ + \beta$ och den andra vara $\alpha$. Vi får följande: 
$\cos((90^\circ+\beta)-\alpha) = \cos(90^\circ + \beta) \cdot \cos{\alpha} +\sin(90^\circ + \beta) \cdot \sin{\alpha}$
De två intressanta delarna av detta uttryck är
$\cos(90^\circ + \beta)$ och $\sin(90^\circ + \beta)$

Vi kan expandera $\cos(90^\circ + \beta)$ med additionsformeln: 
$\cos(90^\circ + \beta) = \cos{90^\circ} \cos{\beta} - \sin{90^\circ}\sin{\beta} = 0\cdot \cos{\beta} - 1\cdot\sin{\beta} = -\sin{\beta}$ 
För $\sin(90^\circ + \beta)$ kan vi använda att $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin{\alpha}$
Då blir $\sin(90^\circ + \beta) = \sin(180^\circ - (90^\circ + \beta)) = \sin(180^\circ - 90^\circ - \beta) =\sin(90^\circ - \beta)= \cos{\beta}$

Då får vi tillslut att uttrycket från början: $\sin(\alpha - \beta) = \cos(90^\circ + \beta) \cdot \cos{\alpha} +\sin(90^\circ + \beta) \cdot \sin{\alpha}$
Är lika med:
$-\sin{\beta} \cos{\alpha} + \cos{\beta} \sin{\alpha}$
Alltså får vi slutligen att
$\sin(\alpha - \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} - \sin{\beta}\cos{\alpha}$
Vi kan visa $\sin(\alpha + \beta)$ genom att lägga in $-\beta$ i formeln

Tack Alex!

Men det är alldeles för svårt för mig att hänga med. Hoppas det var givande för dig att skriva.

Jag kan försöka förenkla det senare och skriva om, om du vill

Gärna, om du vill. Fast jag vet inte om jag kan greppa det algebraiskt. Tänker att det hänger på att jag redan förstår, liksom. Vet inte riktigt.

Jag prövade att göra det här via en youtube video, för att.. jag vet inte, det skulle gå bättre.

Gick sisådär 😅 fick fel svar i slutändan, dock tror jag det beror på hur man sätter vinklarna u och v bara..

Försök

Dkcre skrev:

Gärna, om du vill. Fast jag vet inte om jag kan greppa det algebraiskt. Tänker att det hänger på att jag redan förstår, liksom. Vet inte riktigt.

Vi tycker om olika bevis! Jag föredrar alltid algebraiska bevis, men det gör inte alla. Ibland kan algebraiska bevis vara lite mer krångliga än geometriska bevis. Ibland har jag gjort riktigt krångliga bevis för att jag inte har lust att kolla på cirklar och trianglar. Kommer specifikt ihåg en SMT fråga som jag löste med fyra integraler istället för geometri och symmetri. 

Försökt skriva om det för att göra beviset mer tydligt:

Vi börjar med bevisa att
$\sin(90^\circ + v) = \cos{v}$
$\cos(90^\circ + v) = -\sin{v}$ 

Vi vet att $\sin(90^\circ- v) = \cos(v)$. Om vi då substituerar in $-v$ i formeln får vi att
$\sin(90^\circ- (-v)) = \cos(-v)$, men $\cos(-v) = \cos v$.
Samtidigt har vi att $\sin(90^\circ- (-v))= \sin(90^\circ +v)$
Då vet vi att $\sin(90^\circ+ v) = \cos{v}$

Vi gör samma sak för den andra formeln. Vi vet att $\cos(90^\circ - v) = \sin v$
Om vi sätter in $-v$ får vi 
$\cos(90^\circ - (-v)) = \sin(-v)$ och vi vet att $\sin(-v) = -\sin v$. 
Då får vi att $\cos(90^\circ + v) = -\sin v$

Det vi vill använda i beviset är de tre följande formlerna (och några av de vanliga sambanden du har skrivit i tråden):
$\sin(90^\circ + v) = \cos{v}$
$\cos(90^\circ + v) = -\sin{v}$ 
$\cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Eftersom $\sin v = \cos(90^\circ-v)$ har vi att $\sin(u-v) = \cos(90^\circ - (u-v))$ genom att substituera in $u-v$. 
Vi kan skriva om $\cos(90^\circ - (u-v)) = \cos(90^\circ - u + v)) = \cos(90^\circ + v - u))$

Nu kan vi använda summaformeln för cosinus: Vi tänker oss att den första vinkeln är $90^\circ + v$ och den andra $u$. Alltså istället för $\cos(v-u) = \cos v \cos u + \sin v \sin u$ har vi:
$\cos(90^\circ + v-u) = \cos (90^\circ + v) \cos u + \sin (90^\circ + v) \sin u$

Nu kan vi använda de två formlerna vi fick från tidigare. 
Vi har att $\cos (90^\circ + v) = -\sin v$ och $\sin (90^\circ + v) = \cos v$. 

Om vi byter ut det i formeln får vi: 
$\cos (90^\circ + v) \cos u + \sin (90^\circ + v) \sin u = -\sin v \cos u + \cos v \sin u$
Eftersom detta var från början $\sin(u-v)$ får vi att (efter vi ändrar ordningen på termerna lite grann)
$\sin(u-v) = \cos v \sin u-\sin v \cos u$

Om det är något otydligt i beviset kan du gärna fråga om det!

AlexMu skrev:

Dkcre skrev:

Visa spoiler

Gärna, om du vill. Fast jag vet inte om jag kan greppa det algebraiskt. Tänker att det hänger på att jag redan förstår, liksom. Vet inte riktigt.

Vi tycker om olika bevis! Jag föredrar alltid algebraiska bevis, men det gör inte alla. Ibland kan algebraiska bevis vara lite mer krångliga än geometriska bevis. Ibland har jag gjort riktigt krångliga bevis för att jag inte har lust att kolla på cirklar och trianglar. Kommer specifikt ihåg en SMT fråga som jag löste med fyra integraler istället för geometri och symmetri. 

Försökt skriva om det för att göra beviset mer tydligt:

Vi börjar med bevisa att
$\sin(90^\circ + v) = \cos{v}$
$\cos(90^\circ + v) = -\sin{v}$ 

Vi vet att $\sin(90^\circ- v) = \cos(v)$. Om vi då substituerar in $-v$ i formeln får vi att
$\sin(90^\circ- (-v)) = \cos(-v)$, men $\cos(-v) = \cos v$.
Samtidigt har vi att $\sin(90^\circ- (-v))= \sin(90^\circ +v)$
Då vet vi att $\sin(90^\circ+ v) = \cos{v}$

Vi gör samma sak för den andra formeln. Vi vet att $\cos(90^\circ - v) = \sin v$
Om vi sätter in $-v$ får vi 
$\cos(90^\circ - (-v)) = \sin(-v)$ och vi vet att $\sin(-v) = -\sin v$. 
Då får vi att $\cos(90^\circ + v) = -\sin v$

Det vi vill använda i beviset är de tre följande formlerna (och några av de vanliga sambanden du har skrivit i tråden):
$\sin(90^\circ + v) = \cos{v}$
$\cos(90^\circ + v) = -\sin{v}$ 
$\cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Eftersom $\sin v = \cos(90^\circ-v)$ har vi att $\sin(u-v) = \cos(90^\circ - (u-v))$ genom att substituera in $u-v$. 
Vi kan skriva om $\cos(90^\circ - (u-v)) = \cos(90^\circ - u + v)) = \cos(90^\circ + v - u))$

Nu kan vi använda summaformeln för cosinus: Vi tänker oss att den första vinkeln är $90^\circ + v$ och den andra $u$. Alltså istället för $\cos(v-u) = \cos v \cos u + \sin v \sin u$ har vi:
$\cos(90^\circ + v-u) = \cos (90^\circ + v) \cos u + \sin (90^\circ + v) \sin u$

Nu kan vi använda de två formlerna vi fick från tidigare. 
Vi har att $\cos (90^\circ + v) = -\sin v$ och $\sin (90^\circ + v) = \cos v$. 

Om vi byter ut det i formeln får vi: 
$\cos (90^\circ + v) \cos u + \sin (90^\circ + v) \sin u = -\sin v \cos u + \cos v \sin u$
Eftersom detta var från början $\sin(u-v)$ får vi att (efter vi ändrar ordningen på termerna lite grann)
$\sin(u-v) = \cos v \sin u-\sin v \cos u$

Om det är något otydligt i beviset kan du gärna fråga om det!

 

Det är mer att jag tycker det matematiska språket är svårt att förstå, blir yr av att försöka läsa det. Tappar bort mig, jag vet inte riktigt. Har troligen någon inlärningssvårighet.

Kul att du vart med och tävlat lite, har det gått bra? Sista året nu? Vad ska du göra sen? 

Är inte med på sin(u+v)= cos(90°-(u-v)).

Eller det som står under det här: "Om vi byter ut det i formeln får vi"

Dkcre skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Dkcre skrev:

Visa spoiler

Gärna, om du vill. Fast jag vet inte om jag kan greppa det algebraiskt. Tänker att det hänger på att jag redan förstår, liksom. Vet inte riktigt.

Vi tycker om olika bevis! Jag föredrar alltid algebraiska bevis, men det gör inte alla. Ibland kan algebraiska bevis vara lite mer krångliga än geometriska bevis. Ibland har jag gjort riktigt krångliga bevis för att jag inte har lust att kolla på cirklar och trianglar. Kommer specifikt ihåg en SMT fråga som jag löste med fyra integraler istället för geometri och symmetri. 

Försökt skriva om det för att göra beviset mer tydligt:

Vi börjar med bevisa att
$\sin(90^\circ + v) = \cos{v}$
$\cos(90^\circ + v) = -\sin{v}$ 

Vi vet att $\sin(90^\circ- v) = \cos(v)$. Om vi då substituerar in $-v$ i formeln får vi att
$\sin(90^\circ- (-v)) = \cos(-v)$, men $\cos(-v) = \cos v$.
Samtidigt har vi att $\sin(90^\circ- (-v))= \sin(90^\circ +v)$
Då vet vi att $\sin(90^\circ+ v) = \cos{v}$

Vi gör samma sak för den andra formeln. Vi vet att $\cos(90^\circ - v) = \sin v$
Om vi sätter in $-v$ får vi 
$\cos(90^\circ - (-v)) = \sin(-v)$ och vi vet att $\sin(-v) = -\sin v$. 
Då får vi att $\cos(90^\circ + v) = -\sin v$

Det vi vill använda i beviset är de tre följande formlerna (och några av de vanliga sambanden du har skrivit i tråden):
$\sin(90^\circ + v) = \cos{v}$
$\cos(90^\circ + v) = -\sin{v}$ 
$\cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Eftersom $\sin v = \cos(90^\circ-v)$ har vi att $\sin(u-v) = \cos(90^\circ - (u-v))$ genom att substituera in $u-v$. 
Vi kan skriva om $\cos(90^\circ - (u-v)) = \cos(90^\circ - u + v)) = \cos(90^\circ + v - u))$

Nu kan vi använda summaformeln för cosinus: Vi tänker oss att den första vinkeln är $90^\circ + v$ och den andra $u$. Alltså istället för $\cos(v-u) = \cos v \cos u + \sin v \sin u$ har vi:
$\cos(90^\circ + v-u) = \cos (90^\circ + v) \cos u + \sin (90^\circ + v) \sin u$

Nu kan vi använda de två formlerna vi fick från tidigare. 
Vi har att $\cos (90^\circ + v) = -\sin v$ och $\sin (90^\circ + v) = \cos v$. 

Om vi byter ut det i formeln får vi: 
$\cos (90^\circ + v) \cos u + \sin (90^\circ + v) \sin u = -\sin v \cos u + \cos v \sin u$
Eftersom detta var från början $\sin(u-v)$ får vi att (efter vi ändrar ordningen på termerna lite grann)
$\sin(u-v) = \cos v \sin u-\sin v \cos u$

Om det är något otydligt i beviset kan du gärna fråga om det!

 

Det är mer att jag tycker det matematiska språket är svårt att förstå, blir yr av att försöka läsa det. Tappar bort mig, jag vet inte riktigt. Har troligen någon inlärningssvårighet.

Kul att du vart med och tävlat lite, har det gått bra? Sista året nu? Vad ska du göra sen? 

Är inte med på sin(u+v)= cos(90°-(u-v)).

Eller det som står under det här: "Om vi byter ut det i formeln får vi"

Jag förstår verkligen att du kan bli lite yr av matematiskt språk. Ber om ursäkt om jag skrev det på ett tråkigt sätt! 

Var med på tävlingen detta år, gick helt ok, men övningar på gamla tävlingar gick mycket bättre. Förmodligen pga att det var mellan 8.00 och 13.00, man är rätt så trött hela tiden! 

För det där med $\sin(u-v) = \cos(90^\circ - (u-v))$ kan vi tänka såhär: 
Vi vet att $\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)$, om vi låter $\alpha = u-v$ så kan vi bara byta ut $\alpha$ mot $u-v$ i formeln, vilket ger 
$\sin(u-v) = \cos(90^\circ - (u-v))$
$u-v$ är ju bara en vinkel, så alla vanliga sinus och cosinus formler gäller för denna vinkel också!

Okej, vad roligt :) Bra jobbat.

Det förstår jag mycket bättre, tack. Jag upplever att man växer ganska mycket genom att försöka lära ut någonting, och särskilt om det även måste beskrivas på ett väldigt enkelt sätt. Lite som det där citatet, vem det nu var. Einstein eller feynman kanske. Att man inte förstår det ordentligt om man inte kan förklara det på ett enkelt sätt.

Ganska bra sätt att utöka sin egen förståelse allmänt, i alla fall!

Har en bra bok här dom säger ska vara bra om man gillar komplex analys. Visual complex analysis av Tristan Needham. Fast den tar ju upp mycket visuellt då, i och för sig..

Dkcre skrev:

Okej, vad roligt :) Bra jobbat.

Det förstår jag mycket bättre, tack. Jag upplever att man växer ganska mycket genom att försöka lära ut någonting, och särskilt om det även måste beskrivas på ett väldigt enkelt sätt. Lite som det där citatet, vem det nu var. Einstein eller feynman kanske. Att man inte förstår det ordentligt om man inte kan förklara det på ett enkelt sätt.

Ganska bra sätt att utöka sin egen förståelse allmänt, i alla fall!

Har en bra bok här dom säger ska vara bra om man gillar komplex analys. Visual complex analysis av Tristan Needham. Fast den tar ju upp mycket visuellt då, i och för sig..

Låter som ett bra citat! Det är definitivt ett bra sätt att lära sig koncept på en djupare nivå. Mycket bra idé där med att göra en youtube video. Och vad kul med komplex analys! Har läst lite grann om det tidigare och tycker det är ett mycket intressant ämne!! Finns mycket roliga saker där! 

För egen del slutar jag tänka på vinklar när jag väl har formeln där. Då kan jag använda ren algebra.

Om jag känner till formeln för cos (u-v) då som vi såg tidigare, hur konverterar jag det till Sin (u-v)?

Det var väl det Alex gjorde i och för sig men.

Kan jag lägga ut det såhär: cos(u-v) = cosu cosv + sinu sinv, och förstå någonting

Du får använda de här formlerna

Jag är med på det, men jag förstår inte. 

Så jag vet att cos u cos v + sin u sin v är sant för cos(u-v).

Vill ta reda på sin(u-v).

Ska jag kolla på cos u och konvertera det till sin u då? Då har vi att cos u = sin(90-a), som i alla fall är lika med cos u, så vi kan låta det vara? Sen borde samma sak gälla för cos v, så då har vi:

Då har man sin(u-v) = cos u cos v

Sen är frågan om det ska vara minus mellan eller inte, det vet jag inte än så låter det vara och kollar på sin u.. ja.. inte vet jag. ska jag konvertera det till cosinus då eller vad ska jag göra? 

$\cos \left(\frac{\pi }{2}+u\text{'}-v\right)=-\sin \left(u\text{'}-v\right)$

Sätt $u=\frac{\pi }{2}+u\text{'}$

Fattar tyvärr absolut ingenting..

Jag får ta att jag i alla fall förstår geometriska bevis och att jag kan memorera formlerna så räcker det förhoppningsvis. Har spenderat över 10 timmar eller så hittills för att försöka fatta det här, måste gå vidare.

Tack.

$$\begin{gathered} \sin \left(u\text{'}-v\right) =- \cos \left(\frac{\pi }{2}+u\text{'}-v\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}+u\text{'}\right) \cos v -\sin \left(\frac{\pi }{2}+u\text{'}\right) \sin v = \\ =\sin u\text{'} \cos v - \cos u\text{'} \sin v \end{gathered}$$

Ja.. :/

Men i steg 3 kommer det ut ett positivt cos v av någon anledning och ett värde för sin och sin v utifrån ett enda värde:

-cos(90°+u-v).

Vet inte vad jag ska säga, det säger mig egentligen ingenting alls.

Om det handlar om att ändra en formel på ett algebraiskt sätt då tycker jag att det är bättre att göra så här:

$\sin \left(\alpha +\beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

och

$$\begin{gathered} \sin \left(\alpha - \beta \right) = \sin \left(\alpha + (-\beta )\right) = \sin \alpha \cos (-\beta ) + \cos \alpha \sin (-\beta ) = \\ = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{gathered}$$

Jo, men specifikt att gå mellan formlerna för sinus och cosinus. Det du gör nu är enkelt och jag förstår det, går det att göra på samma sätt?

Tänker att boken här lyfter inte ens frågan som om det skulle vara en av de simplaste operationer man kan tänka sig att utföra bara genom att känna till sambanden, då endast ett bevis för cos(u-v) anses tillräckligt för att täcka samtliga formler.

Ja, man kan göra på samma sätt med $\cos \left(\alpha - \beta \right) = \cos \left(\alpha +(-\beta )\right)$.

Man arbetar väldigt lite med bevisföring i skolan nu för tiden. Sedan måste man ha läst c-varianterna av mattekurserna om man läser matte 4. Sinus och cosinus introduceras i matte 1c, men inte i 1b.

Ja, Kanske.

Fast jag är vuxen, så jag vet inte riktigt. Har läst om matte 1c, 2c, 3c(3?) och har precis börjat med matte 4, då. Vill göra samtliga mattekurser eftersom det är intressant, för att utvecklas, och för att kunna hjälpa och motivera mitt barn. Läste endast 1a och 2a i skolan och brydde mig inte speciellt på den tiden så memorerade allt och kunde säkert egentligen nästan ingenting. 

Måste säga att det har varit och är extremt utmanande att lära sig. Ändå är jag disciplinerad, vet hur man lär sig saker överlag, försöker reflektera och tackla problem från olika håll och sådär. Men det är givande när man i slutändan förstår. Dock när man redan upplever sig göra allt, men ändå inte förstår, blir det lite motigt faktiskt och jag hade inte grejat det emotionellt när jag var yngre.

Khan Academy (som är väldigt användbart) går ut ganska kraftigt med att dementera en fördom många människor har, det vill säga att antingen är man en person som kan matte, eller så är man inte det.

Men man menar då att det bara lärs ut på ett felaktigt, eller i varje fall ineffektivt, sätt. Jag håller helt med om det, för mig som tydligt har svårt för det här så tycker jag konstant att man hoppar över en massa steg i uträkningar, tar massor för givet som rena självklarheter, och gör relativt stora logiska hopp (från min synvinkel, dvs). 

Nu sitter jag här förvisso med en lärobok och har ingen lärare som förklarar någonting för mig, så det hade kanske vart lättare då. Youtube har dock det mesta. Ja, och pluggakuten här såklart hjälper massor, annars hade jag absolut inte klarat det här.

Men jag går verkligen in för det här och försöker verkligen mitt yttersta för att förstå koncepten och sådär, men det börjar bli riktigt svårt att greppa måste jag säga. Ligger dock redan på gränsen av min inlärningsförmåga, vilket är frustrerande.

Min erfarenhet hittills säger egentligen att en viss fallenhet för det här är.. ja, kanske inte fullt ut nödvändigt, men tidsinvesteringen som krävs om man inte har det ökar något enormt. Läste någonting om att studier pekar på att "svaga" elever behöver upp till 7 gånger mer tid med matematiken för att hänga med i samma utsträckning. Jag köper det.

Så jag vet inte, jag tror det är viktigt att identifiera fallenhet för ämnet och ändra kursplan därefter för alla elever. Vilket man redan gör i viss utsträckning naturligtvis. Men lärare ska ha tid då att investera den här tiden för samtliga elever, vilket inte är realistiskt. Så där blir föräldrarna viktiga tänker jag. Men ett svårlöst problem.

Jag provar det här lilla exemplet. En kvadreringsregel lyder

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Ur denna regel kan man direkt få motsvarande regel för x-y, genom att byta ut y mot -y:

(x-y)² = x² -2xy + y²

Tycker du att det tankesteget är självklart eller enkelt eller begripligt eller svårt eller omöjligt?

Jag tycker att det är självklart eftersom att jag har räknat ut det massor med gånger tidigare. Men om jag inte hade sett ${(x-y)}^2$ innan, så skulle jag anta att det förmodligen var korrekt att det blev som du skriver om jag endast kände till ${(x+y)}^2$, men hade inte känt mig säker på det och hade velat räkna ut det först. Tycker inte att det är självklart rent logiskt.

Vi kan exempelvis skriva $(5 - 2)^2$ som $(5+ (-2))^2$ och nu kan vi applicera kvadreringsregeln för $(x+y)^2$
Alltså blir $(5+ (-2))^2 = 5^2 + 2(-2)(5) + (-2)^2 = 25 - 20 + 4 = 9$. Så det stämmer. 

Jag gillar att tänka på att när vi gör ett sådant utbyte som Laguna gjorde så är  $-y$ egentligen bara något annat tal. Eftersom kvadreringsreglerna gäller för alla tal så är det helt ok att göra sådana här utbyten. 

Vi skulle exempelvis kunna säga såhär:
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
$(x+t)^2 = x^2 + 2xt + t^2$
enligt kvadreringsreglerna
Om vi då låter talet $t=-y$ kan vi byta ut överallt där det står $t$ med $-y$. Då får vi:
$(x+(-y))^2 = x^2 + 2x(-y) + (-y)^2= x^2 - 2xy + y^2$ 

Det var ungefär detta som jag och MaKe gjorde med additionsformeln. 
Vi vet att $\sin(90^\circ- \alpha) = \cos \alpha$.
Om vi då låter $\alpha=u-v$ kan vi byta ut $a$ mot $u-v$ i formeln. 
Då får vi att $\sin(90^\circ - (u-v)) = \cos(u-v)$

Känns denna process konstig?

Är med på kvadreringsreglerna där och att byta ut talen till vad som helst, det känns bra. Förövrigt att byta ut besvärliga tecken tillfälligt mot en variabel som håller värdet tycker jag är en riktigt bra metod, det lärde Yngve mig här. Så räknar man med uttryck som ser mycket enklare ut, så kan man ersätta variablerna i slutet av uträkningen med egentliga värdena.

$\sin (90°-\alpha ) = \cos \alpha$ kan verifieras via enhetscirkeln enkelt.

90°-a representerar bara en vinkel, som du själv skrivit. Alltså kan vi ersätta det med en variabel för den vinkeln. Dock endast för a, inte 90°, så sin(90-a) kan skrivas sin(90-(u-v)). Glömmer man 90° så blir cos värdet i fel kvadrant och stämmer därför inte.

Och då vet man sen tidigare att det måste vara = cos(u-v).

Nejdå, det känns bra!

Dkcre skrev:

Är med på kvadreringsreglerna där och att byta ut talen till vad som helst, det känns bra. Förövrigt att byta ut besvärliga tecken tillfälligt mot en variabel som håller värdet tycker jag är en riktigt bra metod, det lärde Yngve mig här. Så räknar man med uttryck som ser mycket enklare ut, så kan man ersätta variablerna i slutet av uträkningen med egentliga värdena.

$\sin (90°-\alpha ) = \cos \alpha$ kan verifieras via enhetscirkeln enkelt.

90°-a representerar bara en vinkel, som du själv skrivit. Alltså kan vi ersätta det med en variabel för den vinkeln. Dock endast för a, inte 90°, så sin(90-a) kan skrivas sin(90-(u-v)). Glömmer man 90° så blir cos värdet i fel kvadrant och stämmer därför inte.

Och då vet man sen tidigare att det måste vara = cos(u-v).

Nejdå, det känns bra!

Vad bra!

Sådana här utbyten var grunden till det algebraiska beviset för $\sin(u-v)$ tidigare. Om jag skriver om början på det algebraiska med hjälp av tillfälliga variabler kan det bli såhär:

Om vi igen tar exemplet $\sin(90^\circ- \alpha) = \cos\alpha$ men nu låter vi $\alpha = 90^\circ+v-u$
Då får vi att $\sin(90^\circ - (90^\circ + v -u)) = \cos(90^\circ + v-u)$
Men samtidigt är $\sin(90^\circ - (90^\circ + v -u)) = \sin(90^\circ- 90^\circ -v +u) = \sin(u-v)$
Alltså: $\sin(u-v) = \cos(90^\circ + v -u)$.
Om vi låter $\beta = 90^\circ + v$ får vi att 
$\cos(90^\circ + v -u) = \cos(\beta - u)$, vilket vi kan expandera med additionsformeln för cosinus
osv

Ja.. 

Men varför låter vi a = 90° +v -u? Eller du tar bara något godtyckligt. Eller nej annars ser man inte då att det gäller för alla vinklar..

Om man har -cos(90°+u-v), hur kan det utvecklas till -cos(90°+u) cosv - sin(90°+u)sinv?

Eller, om jag nu försöker göra om det där igen så har jag cos(u+v) = cosu cos v +sin u sinv, jag vill göra om det här till sin(u+v) genom att kolla på sambanden.

Så igen då att u+v bara representerar vilken vinkel som helst, säger vinkeln X.

Så sin(x) = cos(90-x) = cos(90-(u+v))

Då vet man.. att... jag vet inte. Kommer inte längre

Sin(u+v) = cos(90-(u+v))

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Eller kan man nu placera in det här i formeln för cos(u+v) kanske. 

Då har man cos(90°-(u+v)) = cos(90°-u) cos(90°-v) - sin(90°-u) sin(90°-v)

Då kan man kolla på sambanden och skriver om dem till: 

cos(90°-u) = sin u

cos(90°-v) = sinv

sin(90°-u) = cosu

sin(90°-v) = cosv

Så:

Sin(u+v) = sinu sinv - cosu cosv

Nej, det är fel.

cos(90°-(u+v)) ska göras om till cos(90° -u)-v) för att det ska bli rätt. Men ska inte värden i en parantes räknas ut först? Här bryter man ut ett värde ändå.

Eller det här har du precis skrivit, jag borde kunna det. Så Sin(u+v) = cos(90-(u+v)) eller sin(a) = cos(90-a), om a är u+v blir det cos(90-(u+v)).. nej.

Cos(90-(u+v)) representerar en vinkel, men det ska göras om till två vinklar i alla fall.

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Det blir i alla fall cos(90-u)-v, som man då kan skriva in i formeln för cos(u+v) och ändra värdena.

cos(90-u) = sin u

cos-v = cos v

sin(90-u) = cos u

sin(-v) = -sin(v)

Så sin(u+v) = sinu cosv - cosu -sinv

Och eftersom det är två minus blir det + så

Så sin(u+v) = sinu cosv + cosu sinv

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Men varför är en vinkel detsamma som två vinklar.

cos(90-(u+v))

Så det där representerar differensen av två vinklar. Och eftersom man inte bara kan addera eller subtrahera vinklar, ja, som är hela grejen till att vi gör det här överhuvudtaget, så betyder det att ovanstående måste pluggas in i en formel. Eftersom det är differensen mellan två vinklar måste man identifiera dem först. 

Så sin(u+v) betyder att man vill veta vad sinu+sinv är för någonting, det är syftet. Ska vi skriva dessa vinklar med hjälp av cosinus så har man då cos(90°-u) och cos(90-v). Kan vi då representera det såhär cos(90-u+90-v). Nej inte riktigt det är 90° fel.

Du har förklarat det här i ditt bevis där men jag fattar inte i alla fall, vet inte varför.

sin (a) = cos(90°-a) så då är sin(u-v) = cos(90-(u-v)). Superlogiskt., ändå fattar jag inte. Jag tycker att vinkeln v också bör innehålla 90° för att det ska vara konsekvent, men det är av någon anledning inte nödvändigt? 

Men varför låter vi a = 90° +v -u?

Målet med mitt bevis var att hitta ett uttryck för $\sin(u-v)$ med hjälp av additionssatsen för cosinus, eftersom vi redan känner till den satsen.
Då måste vi skriva $\sin(u-v)$ så att det istället är $\cos(\text{någon vinkel}- \text{någon annan vinkel})$. Vi måste ju ha ett uttryck med cosinus för att använda additionssatsen för cosinus.

Eftersom vi kan omvandla sinus till cosinus med förhållandet $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos{\alpha}$ är det det som jag använde i beviset. 
Vi valde just $\alpha = 90^\circ + v -u$ eftersom då kommer uttrycket $\sin(90^\circ - \alpha)$ bli $\sin(u-v)$
(eftersom $90^\circ - \alpha = 90^\circ - (90^\circ + v -u) =90^\circ - 90^\circ - v +u = u-v$)
Vilket är det vi vill hitta en formel för. Och då har vi alltså att $\sin(u-v) = \cos{\alpha} = \cos(90^\circ + v - u)$, som vi ytterligare kan förenkla med additionssatsen. 

Om man har -cos(90°+u-v), hur kan det utvecklas till -cos(90°+u) cosv - sin(90°+u)sinv?

Det kan alltid göras lite tydligare om vi förenklar uttrycket med substitution! 
Om vi låter $w = 90^\circ+u$ får vi $-\cos(w-v)$ istället. Utvecklar vi det här med additionssatsen för cosinus får vi:
$-\cos(w-v)=-\cos w \cos v - \sin w \sin v$
Om vi nu tar och byter tillbaka vad $w$ var från början, alltså $w = 90^\circ+u$ får vi 
$-\cos(90^\circ+u)\cos v - \sin(90^\circ+u) \sin v$

Då vet man.. att... jag vet inte. Kommer inte längre

Sin(u+v) = cos(90-(u+v))

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Eller kan man nu placera in det här i formeln för cos(u+v) kanske.

Då har man cos(90°-(u+v)) = cos(90°-u) cos(90°-v) - sin(90°-u) sin(90°-v)

Det här stämmer nästan. Du är på rätt spår men utvecklingen med additionssatsen gick inte helt rätt. 
$\cos(90^\circ - (u+v)) = \cos(90^\circ - u - v)$
Jag skulle igen rekommendera att göra lite substitution. Testa exempelvis $w = 90^\circ - u$
Då blir uttrycket omvandlat till $\cos(w - v)$ kan du utveckla detta med additionsformeln? Vad får du om du substituerar tillbaka in värdet från $w$? 

Är det här rätt? Det är strukturerat lite rörigt och sådär men. Eller läste igenom det igen, det är väldigt rörigt till och med.

$$\begin{gathered} ¤¤¤¤¤¤¤¤ \\ \sin \left(a\right) = \cos (90°-a) \\ \cos \left(a\right) = \sin (90°-a) \\ \cos (a+b) = \left(\cos a\cos b\right)-\left(\sin a\sin b\right) \\ ¤¤¤¤¤¤¤¤ \\ \cos \left(a\right) = \sin (90°-a) \Rightarrow \cos (a+b) = \sin (90°-(a+b\left)\right) = \sin (90°-a-b) \\ \sin \left(a\right) =\cos (90°-a) \Rightarrow \sin (a+b) =\cos (90°-(a+b\left)\right) =\cos (90°-a)-b\left) \\ \cos \right(a+b) = \sin (90°-(a+b)\left) \\ \sin \right(a+b) = \cos (90°-(a+b)\left) \\ \cos \right(a+b) = (\cos a\cos b)-(\sin a\sin b) \\ ¤¤¤¤¤ \\ a= (90°-a) \\ b= (-b) \\ ¤¤¤¤¤ \\ \cos (90°-a)-b) = \left(\cos \right(90°-a) \cos (-b\left)\right) - \left(\sin \right(90°-a) \sin (-b\left)\right) \\ ¤¤¤ \\ \cos (90°-a) = \sin a \\ \cos (-b) = \cos b \\ \sin (90°-a) = \cos a \\ \sin (-b) = -\sin b \\ ¤¤¤ \\ \cos (90°-a)-b) = (\cos (90°-a) \cos (-b)) - (\sin (90°-a) \sin (-b)) \\ = \\ \sin (a+b) =(\sin a \cos b) -(\cos a-\sin b) \\ = \\ \sin (a+b) =(\sin a \cos b) +(\cos a\sin b) \\ ¤¤¤¤¤¤¤¤ \\ \sin (90°-v) = \cos v \\ v = 90° -a-b \\ \sin (90°-(90°-a -b)) = \sin (a+b) = \cos a = \cos (90°-a-b) = \cos (90°-a)-b) \end{gathered}$$

Dkcre skrev:

Är det här rätt? Det är strukturerat lite rörigt och sådär men. Eller läste igenom det igen, det är väldigt rörigt till och med.

$$\begin{gathered} ¤¤¤¤¤¤¤¤ \\ \sin \left(a\right) = \cos (90°-a) \\ \cos \left(a\right) = \sin (90°-a) \\ \cos (a+b) = \left(\cos a\cos b\right)-\left(\sin a\sin b\right) \\ ¤¤¤¤¤¤¤¤ \\ \cos \left(a\right) = \sin (90°-a) \Rightarrow \cos (a+b) = \sin (90°-(a+b\left)\right) = \sin (90°-a-b) \\ \sin \left(a\right) =\cos (90°-a) \Rightarrow \sin (a+b) =\cos (90°-(a+b\left)\right) =\cos (90°-a)-b\left) \\ \cos \right(a+b) = \sin (90°-(a+b)\left) \\ \sin \right(a+b) = \cos (90°-(a+b)\left) \\ \cos \right(a+b) = (\cos a\cos b)-(\sin a\sin b) \\ ¤¤¤¤¤ \\ a= (90°-a) \\ b= (-b) \\ ¤¤¤¤¤ \\ \cos (90°-a)-b) = \left(\cos \right(90°-a) \cos (-b\left)\right) - \left(\sin \right(90°-a) \sin (-b\left)\right) \\ ¤¤¤ \\ \cos (90°-a) = \sin a \\ \cos (-b) = \cos b \\ \sin (90°-a) = \cos a \\ \sin (-b) = -\sin b \\ ¤¤¤ \\ \cos (90°-a)-b) = (\cos (90°-a) \cos (-b)) - (\sin (90°-a) \sin (-b)) \\ = \\ \sin (a+b) =(\sin a \cos b) -(\cos a-\sin b) \\ = \\ \sin (a+b) =(\sin a \cos b) +(\cos a\sin b) \\ ¤¤¤¤¤¤¤¤ \\ \sin (90°-v) = \cos v \\ v = 90° -a-b \\ \sin (90°-(90°-a -b)) = \sin (a+b) = \cos a = \cos (90°-a-b) = \cos (90°-a)-b) \end{gathered}$$

Uträkningarna verkar rätt, ja. Lite svårt att hänga med. Men det viktigaste är att du förstår. Bra jobbat!

Förstår det, tyckte det själv också :P Men jag begriper i alla fall.

Tack för hjälpen du.