Addition och subrstraktionformler för sinus och cosinus

Sätt t.ex w = -v. Då blir VL = cos(u + w). Vad blir HL? 

Så om cos (u−v)=cosu*cosv+sinu*sinv ... om w=-v... cos (u+v)=cosu*cos(-v)+sinu*sin(-v)?

Och om cos(-v)= cos v och sin (-v) är lika med - sin v kan vi därmed...

cos (u+v)=cos(u)*cos(v)+sin(u)*-sin(v)

cos (u+v)=cos(u)*cos(v)- sin(u)*sin(v)

Jag fattar nu, tack!!!

Jag testar för sin (u+v)

Sin (u + cos (90-v)) ? Och efter det?

Vi vet att

$\cos \left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$

Jag tycker det blir enklast om man inför en ny vinkel w, som har ett visst förhållande till v.

Om v = -w har vi

$VL=\cos \left(u-v\right)=\cos \left(u-\left(-w\right)\right)=\cos \left(u+w\right)$

$HL=\cos u\cos v+\sin u\sin v=\cos u\cos \left(-w\right)+\sin u\sin \left(-w\right)=\cos u\cos w-\sin u\sin w$

så alltså

$\cos \left(u+w\right)=\cos u\cos w-\sin u\sin w$

och nu kan vi om vi vill kalla w för v.

Gör likadant med v = 90 grader - w och 90 grader + w.  Vad får du då?

Jag börjar att se the light typ, men har fortfarande många potatisar i ögonen:

Om v = 90 grader - w

VL=$\cos (u-v)=\cos (u-90 +w)=\cos (u+w-90)$? Jag antar att det måste jag transformera i sin, men hur?

HL=cos u cos v + sin u sin v = $\cos u \cos (90-w) + \sin u \sin (90-w)$

sin (90 -w) = cos w och cos (90-w) = sin w 

Så vi borde ha följande samband?

$\cos (u+w-90) som borde väl vara en sinus?=\cos u \sin w + \sin u \cos w$

Om v är fortfarande= 90 grader - w

VL=cos (u+v) = cos (u - w + 90)

HL=cos u cos v + sin u sin v = cos u cos (90-w) + sin u sin (90 -w)

Samma som förut byter sin (90 -w) till cos w och cos (90-w) till sin w ...

Så tyvärr hittar jag samma sak??

 cos (u - w + 90)= cos u sin w + sin u cos w

Klassiker. Det är vanligt i matematikböcker att man skriver "Bevis lämnas åt läsaren" eller "Triviala fallet". Jag tycker personligen det bara visar på att författaren av boken antingen vill visa sin dominans, eller i detta fall bara inte orkar. :)

Haha lol, jo... Dom är bara dåliga på franska och hämnas på så sätt :D

Är du med på att

cos(u + w - 90) = cos(90 - (u + w)) 

? 

Detta då cos(x) är en jämn funktion

cos(x) = cos(-x) 

för alla x. 

Överallt där du har 

cos(90 - x)

och

sin(90 - x) 

kan du istället skriva... 

EDIT: och det ser jag nu att du har gjort. Du är nästan klar, men du gör ett teckenfel för v = w + 90. 

Ok :)

Jag börjar om. Skönt när potatisar ramlar ner...

v= 90 grader - w

VL=cos(u−v)=cos (u−90 +w) = cos( u+w −90) som är lika med cos(90-(u+w)) som är lika med sin (u+w). Jag känner en breakthrough som kommer....................

HL=cos u cos v + sin u sin v = cos u cos (90−w) + sin u sin (90−w) = cos u sin w + sin u cos w

Sambandet blir:

sin (u+w) =cos u sinw + sin u cos w, som verkar stämma med boken fast dom skriver sin u först :)

Den andra nu...

v= 90 grader - w 

VL=cos(u+v)=cos (u+90 -w) = (90 + u -w)= cos(90-(w+u)) ?? Känns fel...

Den andra ska vara v = 90 + w! 

Edit: nu har jag ritat en enhet cirkel.

Ok, om  v= -w ... (90 - (-w))= 90 grader + w, så blir cos (90 + (u+w)) också sin (u+w)?

Isf har vi VL sin (u+w)

HL= cos u * cos w + sin u * sin w =  cos u * sin (u+w) + sin u * cos (u+w)

cos(u - (90 + w)) = cos(u - w - 90) = cos(90 + w - u) = cos(90 - (u - w)) = ... 

Då har jag använt att cos(x) = cos(-x) i steg 2.

Dr. G skrev :

cos(u - (90 + w)) = cos(u - w - 90) = cos(90 + w - u) = cos(90 - (u - w)) = ... 

Då har jag använt att cos(x) = cos(-x) i steg 2.

... sin (u-w)?

Det känns mer som att flytta sina soldater på en schäckbräde än nåt annat. Jag borde kanske rita en bättre enhet cirkel innan jag svarar :(. Känner mig hemsk förvirrad.

Det räcker i och för sig att hitta formeln för 

sin(u + v) 

När du väl har den så kan du sätta v = -w för att få formeln för 

sin(u - w) 

Förlåt för att det tog så mycket tid att återkomma, jag hade lite för mycket med kemikurs.

Nu har jag nästan glömt vad vi håll på med!

Men om vi sätter v = -w och och sin sin(u - w) blir sin(u + v) det borde inte vara något att krångla till? 

sin (u+w) =cos u sinw + sin u cos w

Vi ersätter sin (-v) med - sin (v)

sin (u-w) =cos u * (-sinw) + sin u cos w =  sin u cos w - cos u *sinw

Är vi klara med additionsformlerna, Daja?

$\sin \left(u\pm v\right)=\sin u\cos v\pm \cos u\sin v$

$\cos \left(u\pm v\right)=\cos u\cos v\mp \sin u\sin v$

Sinus har samma tecken (+/-) i HL och VL, medan det är omvänt för cosinus.  För sinus blandas termerna med en sin och en cos, medan för cosinus så sitter de ihop cos-cos eller sin-sin.

Från dessa kan du få ut additionsformeln för tangens

$\tan \left(u\pm v\right)=\frac{\sin \left(u\pm v\right)}{\cos \left(u\pm v\right)}=...$

Sätt även v = u i summaformlerna så får du ut formlerna för "dubbla vinkeln", t.ex

$\sin \left(2u\right)=\sin \left(u+u\right)=...$

Jo tack, vi är klara hoppas jag :)

I see!

$\sin (u \pm u) = \sin u*\cos u\pm \cos u \sin u$

Vad är nyttan av den här formeln?

Vad man ska med formeln till kan man fråga sig, men den gäller och ger "snygga" samband mellan sinus och cosinus för en vinkel och en dubbelt så stor vinkel.

$\sin \left(2u\right)=2\sin u\cos u$

$\cos \left(2u\right)={\cos }^{2}u-{\sin }^{2}u=2{\cos }^{2}u-1=1-2{\sin }^{2}u$

Sambandet för cosinus kan användas "baklänges" för att beräkna vissa integraler, t.ex

$\int {\cos }^{2}x dx= ...$

En sekund bara: varför ${\cos }^{2}u-{\sin }^{2}u = 2 {\cos }^{2}u -1$? Jag förstår inte hur triggettan funkar hit?

Edit: det kom i matteboken 2 sidor senare...

Blir nu$\int {\cos }^{2}x dx = \cos \left(2x\right)$ ? Eller $\int {\cos }^{2}x dx = \frac{{\cos }^3 x}{2}$??

Dr. G skrev :

 

För sinus blandas termerna med en sin och en cos, medan för cosinus så sitter de ihop cos-cos eller sin-sin.

 

Man blandar termerna men eftersom sin(u-v) innehåller en substraktion, måste man också respektera odern eller räcker det med att blanda termerna? Jag känner mig riktigt dumt att fråga det men man vet aldrig vad är det som gäller med vinklarna.

Daja skrev :

Dr. G skrev :

 

För sinus blandas termerna med en sin och en cos, medan för cosinus så sitter de ihop cos-cos eller sin-sin.

 

Man blandar termerna men eftersom sin(u-v) innehåller en substraktion, måste man också respektera odern eller räcker det med att blanda termerna? Jag känner mig riktigt dumt att fråga det men man vet aldrig vad är det som gäller med vinklarna.

Här skulle jag använda mig av ett knep: Sätt in några värden du vet och justera ekvationen. Du vet att sin (90 - 30) blir $\frac{\sqrt{3}}{2}$, hur arrangerar du värdena för sin 90, cos 90, sin 30 och cos 30 för att få rätt svar?

Enhetscirkeln är också användbar (ibland) för att få rätt tecken på allting.

sin 90= 1, cos 90  = 0, sin 30 =$\frac{\sqrt{3}}{2}$och cos 30=0.5.

Så 0,5 måste försvinna och $\frac{\sqrt{3}}{2}$ måste vara positiv och komma innan minustecknet....

Så $1*\frac{\sqrt{3}}{2}-0*0.5$ dvs sin för den första vinkel måste komma först! Tack Smaragdalena!

Du har också från t.ex enhetscirkeln att

sin(-t) = -sin(t), för alla t. 

Sätt t = (v - u) så har du

sin(u - v) = -sin(v - u) 

Det är mycket att komma ihåg för att växla imellan :). Jag kommer att behöva många post-its!