Accelerationsvektor i ellips

Uppgiften:

Planeterna rör sig runt solen i elliptiska banor med Solen i ena brännpunkten. En planets läge i ellipsens plan ges alltså av:

$\{\begin{cases} x (t) = a \cos (ω t) \\ y (t) = b \sin (ω t) \end{cases}$

där $a > b$ och $ω$ är konstanter samt $0 \leq t \leq 2 π$ . Solens läge är $(x, y) = (\sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0)$ . Visa att accelerationsvektorn alltid är riktad mot origo.

Nu är detta en uppgift där man ska bevisa något, så boken erbjuder inget svar på vad som är rätt i facit. Den ledning jag har fått och vet av är att man kan derivera en lägesfunktion två gånger för att få fram dess funktion för accelerationen.

Jag provade att göra detta och fick då:

$\{\begin{cases} a_{x} (t) = - a ω^{2} \cos (ω t) \\ a_{y} (t) = - b ω^{2} \sin (ω t) \end{cases}$

Alltså blir skillnaden på läge och acceleration $- ω^{2}$ , både i x- och y-led.

Detta säger mig dock ingenting. Är detta beviset? Hur visar det i så fall svaret på frågan?

Om nej mottages gärna tips för hur man ska fortsätta.

Accelerationen ges då av

$\mathbf{a} = -\omega^2\mathbf{r}$

eller hur?

But... like... what? I don't... why? who thought?...

Hur mycket av det här är från uppgiften och hur mycket har du flikat in själv? För som en fysikuppgift är det där ju, ja... nonsens.

Verkliga planeters banor är visserligen elliptiska men beroendet av tid är ju helt annorlunda än det som beskrivs i den här modellen med kontant vinkelfrekvens utan vinkelfrekvensen omega kommer ju att variera beroende på planetens avstånd från solen såsom är bekant från Keplers lagar(animation https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ed/Classical_Kepler_orbit_120frames_e0.6.gif)

Enda fallet då vinkelfrekvensen är konstant är vid cirkulära banor.

Därtill är ju verkliga planeters accellerationsvektor i referensramen inte riktad mot ellipsens mittpunkt utan mot dess brännpunkter, där solen ligger.

Något är väldigt knasigt här.

(Men om det ska ses så en helt poänglös matematikuppgift utan verklighetskoppling så är Dr. Gs formulering den relevanta)

Dr. G skrev:
Accelerationen ges då av
$\mathbf{a} = -\omega^2\mathbf{r}$
eller hur?

Hänger kanske inte med i svängarna, hur då? Jag tänker att man får a genom

$a = \sqrt{{a_{x}}^{2} + {a_{y}}^{2}}$

Eller togs

$a = - ω^{2} r$

fram på annat sätt?

SeriousCephalopod skrev:
But... like... what? I don't... why? who thought?...
Hur mycket av det här är från uppgiften och hur mycket har du flikat in själv? För som en fysikuppgift är det där ju, ja... nonsens.
Verkliga planeters banor är visserligen elliptiska men beroendet av tid är ju helt annorlunda än det som beskrivs i den här modellen med kontant vinkelfrekvens utan vinkelfrekvensen omega kommer ju att variera beroende på planetens avstånd från solen såsom är bekant från Keplers lagar(animation https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ed/Classical_Kepler_orbit_120frames_e0.6.gif)
Enda fallet då vinkelfrekvensen är konstant är vid cirkulära banor.
Därtill är ju verkliga planeters accellerationsvektor i referensramen inte riktad mot ellipsens mittpunkt utan mot dess brännpunkter, där solen ligger.
Något är väldigt knasigt här.
(Men om det ska ses så en helt poänglös matematikuppgift utan verklighetskoppling så är Dr. Gs formulering den relevanta)

Jag citerade uppgiften rakt av från boken. Hur verklig den är har jag ingen susning om -det är en uppgift från en grundkurs i mekanik, så jag tog mig hit :)

Dock så blir väl inte accelerationen konstant i detta fall? Eftersom tiden ändrar värdet på t ex $\cos (ω t)$

eller tänker jag fel då?

Titta på accelerationens komposanter. Du har fått fram att

$a_x(t) = -\omega^2 x(t)$

och

$a_y(t) = -\omega^2 y(t)$

d.v.s båda accelerationskomposanterna är proportionella mot motsvarande positionskomposant, och proportionalitetskonstanten är samma i båda fallen.

Som SeriousCephalopod påpekar är dock uppgften en skojuppgift, sett ur fysikalisk synvinkel.

Jaha, tror jag fattar!

Antar då att proportionalitetskonstanten är $- ω^{2}$

och att r är avståndet från origo till planeten i både x- och y-led,

$r = \sqrt{x (t)^{2} + y (t)^{2}}$

och vad tiden än är får alltid a ett värde så att planeten alltid accelererar mot origo enligt

$a = - ω^{2} r$

som fås av

$a = \sqrt{(- ω^{2} x)^{2} + (- ω^{2} y)^{2}} = \sqrt{ω^{4} x^{2} + ω^{4} y^{2}} = \pm ω^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} = - ω^{2} r$

(enbart - då man vet att proportionalitetskonstanten ska vara negativ)

...eller?

Svara

Visa senaste svar