Acceleration till hastighet: Hibblers Dynamics

Använd kedjeregeln

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dv}{ds}v$

Alltså är $ads=vdv$

$\displaystyle \int_0^{2000\mathrm{m}} a\left(s\right)\,ds=\int_0^{v_f}v\,dv=\frac{v_f^2}{2}$

D4NIEL skrev:

Använd kedjeregeln

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dv}{ds}v$

Alltså är $ads=vdv$

$\displaystyle \int_0^{2000\mathrm{m}} a\left(s\right)\,ds=\int_0^{v_f}v\,dv=\frac{v_f^2}{2}$

Då är dock det jobbiga att man inte vet tiden för hastigheten då höjden är 2000m

Du behöver inte tiden för att räkna ut hastigheten. Men om du vill räkna ut tiden är det bara att fortsätta

$\frac{v_f^2}{2}=\int_0^{s_f} (6+0.02s)\,ds=6s+0.01s^2$

$v_f=\sqrt{12s+0.02s^2}=\frac{ds_f}{dt}$

Nu söker du $\int_0^{T_f} dt=\dots$

D4NIEL skrev:

Använd kedjeregeln

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dv}{ds}v$

Alltså är $ads=vdv$

$\displaystyle \int_0^{2000\mathrm{m}} a\left(s\right)\,ds=\int_0^{v_f}v\,dv=\frac{v_f^2}{2}$

Hur fick du vf^2/2

Integralen av hastigheten $v$ från starthastigheten $v=0$ till sluthastigheten $v=v_f$ är

$\int_0^{v_f} v\,dv=\left[\frac{v^2}{2}\right]_0^{v_f}=\frac{v_f^2}{2}-0=\frac{v_f^2}{2}$

på samma sätt som $\int x\,dx= x^2/2$. Nu kan vi sätta integralerna lika eftersom $v\,dv=a\,ds$

$\displaystyle \frac{v_f^2}{2}=\int_0^{2000} \left(6+0.02s\right)\,ds=\left[6s+0.01s^2\right]_0^{2000}=52000$

Alltså är sluthastigheten $v_f=\sqrt{2\cdot 52000}\approx 322\mathrm{m/s}$