Acceleration sträcka tid

Hej.

Från början står Bobby och vagnen stilla på samma ställe. 

Förslag: Inför storheter enligt följande:

• $s_B(t)$ är Bobbys position vid tiden $t$.
• $s_V(t)$ är vagnens position vid.tiden $t$.
• $v_B=8$ m/s är Bobbys hastighet nerför backen när han väl har börjat springa.
• $v_V(t)$ är vagnens hastighet nerför backen vid tiden $t$.
• $a_V=0,5$ m/s² är vagnens acceleration.

Försök nu att följa ledtråden i uppgiften.

Du kan gärna använda en skiss i ett v/t-diagram för att förstå vad som händer och hur ekvationerna ska formas.

Jag både gillar och hatar denna uppgift. Jag kan bara lösa den här uppgiften på samma vis som man löser en matematikuppgift av samma art. Det enda jag behöver tänka på när jag löser den här uppgiften är att formlerna för de olika funktionerna är både hastighetsformeln och sträckformeln. Annars kan själva lösningen av uppgiften göra helt matematiskt.

En huvudregel till att lösa den uppgift är att man ska veta att när båda föremålen har samma hastighet. Det kan göras med hjälp av v-t graf av båda föremålen. Då blir deras funktioner på det här viset; $v_B = 8$ (Bobby's hastighet, vilket är konstant och därav bara ett tal), $v_V = 0,5t$ (Vagnens ökande hastighet enligt hastighetsformeln. Det är det enda föremålet som accelererar då t kan lika gärna var x enligt räta linjens ekvation i matematiken. Vi kan ta reda på när de får samma hastighet genom deras skärningspunkt i v-t grafen. Ekvationen blir såhär; $8 = 0,5t$ vilket då blir till $t =\hspace{0.17em}16$. I det här fallet betyder det att det tar 16 sekunder för att vagnen ska få samma hastighet som Bobby. 

$t =\hspace{0.17em}16$ är därav x koordinaten för punkten där andagradsfunktionens lutning är lika med 8. Den punkten gäller både i en v-t graf, samt i en s-t graf där man kan ta reda på hur långt båda föremålen har färdats gentemot varandra. Man måste då lösa resten mha en s-t graf. Då blir det följande formler; $s_B = 8t$ (Bobby's sträcka enligt sträckformeln utan någon acceleration.) och $s_V = \frac{0,5}{2}{t}^2$ (Vagnens sträcka enligt sträckformeln utan någon hastighet, kan också skrivas om som $\frac{1}{4}{t}^2$ ). Vi ska först använda oss av vagnens funktion för att räkna ut vilken sträcka den har vid punkten $t = 16$(alltså y värde i det här fallet). Det gör man genom att ta värdet på t och sätta in den i funktionen, $s_V =\hspace{0.17em}\frac{1}{4}{16}^2 = 64$, då blir sträckan 64 (m) lång. 

Nu borde man tänka över hur länge det tar för bobby att springa 64 (m) med hans hastighet. Och då tar man bara hans sträckformel och sätter 64 (m) på sträckan och löser ut t. $64 = 8t$, $t = 8$. Då har man svaret att det tar 8 sekunder för att han ska hinna med samma sträcka som vagnen. Vagnen behöver åka i 16 sekunder för att nå samma sträcka, medans bobby behöver bara springa i 8 sekunder för att nå samma sträcka. Då tar man tiden för vagnen minus tiden för bobby. $16 - 8 = 8$. I det här fallet blir det fortfarande 8 sekunder. Fast det är viktigt att tänka på att dem här åtta sekunderna är inte då han springer, utan då han står still innan han behöver springa. Alltså det tar honom 8 sekunder att både vänta och för att springa ikapp. 

Det här kanske blev en väldigt krånglig och obegriplig lösning. Men i grunden borde den ge korrekt svar, även om den inte använder den exakta metoden som man kanske annars skulle använda sig av.

jonasJ skrev:

[...]

Det här kanske blev en väldigt krånglig och obegriplig lösning. Men i grunden borde den ge korrekt svar, även om den inte använder den exakta metoden som man kanske annars skulle använda sig av.

Din lösning ger rätt svar och du har rätt i att man behöver inse följande två saker för att lösa uppgiften:

När Bobby hinner upp vagnen så gäller det att både han och vagnen har samma hastighet. Dessutom har de då färdats samma sträcka.

Hur man sedan gör för att sätta upp ekvationerna är en smaksak.

Personligen föredrar jag att utgå från ett v/t-diagram med vetskapen att tillryggalagd sträcka ör lika med arean under respektive graf.

Jag glömde bort helt med att man kan få sträckan utifrån arean av en v-t graf. Då har jag nog bara gjort samma sak fast med ett längre resonemang. Skönt att det fanns ett smidigare sätt än det jag gjorde. Tack.