Acceleration för roterande koordinatsystem

Hej!

Jag förstår det mesta som händer i lösningsförslaget i uppgiften nedan, men har lite frågor om uttrycket för accelerationen.

Jag vill använda en formel

$\vec{a} = \ddot{\vec{r}} + 2 \vec{Ω} \times \dot{\vec{r}} + \dot{\vec{Ω}} \times \vec{r} + \vec{Ω} \times (\vec{Ω} \times \vec{r})$ .

Eftersom $\vec{Ω}$ (jordens rotation) är konstant, och vi kan försummar den sista termen, får vi

$\vec{a} = \ddot{\vec{r}} + 2 \vec{Ω} \times \dot{\vec{r}}$ ,

där $\vec{a}$ är kulans totala acceleration i rymden och $\vec{r}$ är positionsvektorn för kulan i det roterande koordinatsystemet.

Jag tror att det som bli jobbigt för mig är att jag blandar ihop vilken acceleration som är vilken. Även nu när jag försöker formulera vad jag tänker märker jag att jag ändrar mig hela tiden. Min fråga landar alltså i :

Vad är skillnaden på $\ddot{\vec{r}}$ och $\vec{a}$ här? Varför väljs den ena till $- g$ och den andra till $\dot{\vec{v}}$ ?

Hur är själva frågan formulerad? Det är svårt att förstå lösningen utan att veta vad man frågar efter.

Smaragdalena skrev:
Hur är själva frågan formulerad? Det är svårt att förstå lösningen utan att veta vad man frågar efter.

Både fråga och lösning finns i den bifogade bilden.

Svårt att svara på utan att veta var du fick "formeln" från och hur den är härledd.

Det ser ut som att det är derivering av en roterande positionsvektor två gånger. Då vet vi mycket väl att totala accelerationen blir annorlunda än $\ddot{r}$ eftersom den senare är i det lokala koordinatsystemet. Hänvisa till ditt eget svar i Matte357s tråd här. Det är precis detta du pratar om i det svaret.

Jo precis, det är derivering av en roterande positionsvektor två gånger. Ledsen att jag var otydlig. Jag är mycket medveten om att totala accelerationen är annorlunda än $\ddot{r}$ , det jag undrar är "vad som är vad". Jag skall försöka förklara hur jag tänker:

Vi kan sätta $\ddot{\vec{r}} = {\dot{v}}_{x} \hat{x} + {\dot{v}}_{y} \hat{y} + {\dot{v}}_{z} \hat{z}$ . Då får vi

$\vec{a} = {\dot{v}}_{x} \hat{x} + {\dot{v}}_{y} \hat{y} + {\dot{v}}_{z} \hat{z} + 2 \vec{Ω} \times ({\overset{}{v}}_{x} \hat{x} + {\overset{}{v}}_{y} \hat{y} + {\overset{}{v}}_{z} \hat{z})$

Om vi skall få samma svar som i lösningsförslaget måste väl $\vec{a} = - g \hat{z}$ ?

Ett annat sätt att se det:

Sätt $\vec{a} = {\dot{v}}_{x} \hat{x} + {\dot{v}}_{y} \hat{y} + {\dot{v}}_{z} \hat{z}$ . Då får vi

${\dot{v}}_{x} \hat{x} + {\dot{v}}_{y} \hat{y} + {\dot{v}}_{z} \hat{z} = \ddot{\vec{r}} + 2 \vec{Ω} \times ({\overset{}{v}}_{x} \hat{x} + {\overset{}{v}}_{y} \hat{y} + {\overset{}{v}}_{z} \hat{z})$

För att detta skall matcha lösningsförslaget måste $\ddot{\vec{r}} = - g \hat{z}$ , men då har vi fortfarande fel tecken på Coriolistermen.

Det mest rimliga är ju det första sättet, eftersom det andra sättet innebär att den totala accelerationen $\vec{a}$

ges av den relativa accelerationen, och det är ju helt fel. Anledningen till att jag ens överväger den andra metoden är för att jag inte kan övertyga mig om att $\vec{a} = - g \hat{z}$ . Eller är båda sätten kanske fel sätt att se det?

pixisdot skrev:
Jo precis, det är derivering av en roterande positionsvektor två gånger. Ledsen att jag var otydlig. Jag är mycket medveten om att totala accelerationen är annorlunda än $\ddot{r}$ , det jag undrar är "vad som är vad". Jag skall försöka förklara hur jag tänker:

Vi kan sätta $\ddot{\vec{r}} = {\dot{v}}_{x} \hat{x} + {\dot{v}}_{y} \hat{y} + {\dot{v}}_{z} \hat{z}$ . Då får vi
$\vec{a} = {\dot{v}}_{x} \hat{x} + {\dot{v}}_{y} \hat{y} + {\dot{v}}_{z} \hat{z} + 2 \vec{Ω} \times ({\overset{}{v}}_{x} \hat{x} + {\overset{}{v}}_{y} \hat{y} + {\overset{}{v}}_{z} \hat{z})$
Om vi skall få samma svar som i lösningsförslaget måste väl $\vec{a} = - g \hat{z}$ ?

Nej, det räcker att ansätta ${\dot{v}}_{x} = {\dot{v}}_{y} = 0; {\dot{v}}_{z} = - g$ . Detta är ekvivalent med att uttrycka din positionsvektor som:

$\vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z}$ vilket ger $\ddot{\vec{r}} = \ddot{x} \hat{x} + \ddot{y} \hat{y} + \ddot{z} \hat{z}$ .

Vi vet liksom ovan att $\ddot{x} = \ddot{y} = 0; \ddot{z} = - g$ så $\ddot{\vec{r}} = - g \hat{z}$ .

Hmm ok, jag köper det. Hur blir det då med tecknet på Coriolistermen?

Tecknet på coriolistermen bör dikteras av rotationsvektorn för vår positionsvektor, alltså $\vec{\Omega}$ . Hur ser denna ut?

Precis. Jorden roterar moturs sedd norrifrån, så koordinatsystemet borde rotera med positiva $\Omega$ -komponenter i kroppens koordinatsystem så länge kulan befinner sig på norra halvklotet.

Tack för din hjälp, men jag har nu löst det på annat håll. Om du är intresserad:

Den enda kraften som verkar på kulan är $m g$ rakt mot jordens masscentrum. Newtons andra lag ger $F = m a$ , dvs $- m g = m a$ och vi får

$- g \hat{z} = \ddot{\vec{r}} + 2 \vec{Ω} \times \dot{\vec{r}}$

vilket till slut ger samma som i lösningsförslaget. Jag har alltså använt det framderiverade uttrycket för a som jag nämnde i min originalpost.

Svara

Visa senaste svar