Abstrakt algebra: Visa att maximala ideal är primideal

Hej! Som rubriken lyder ska jag bevisa att varje maximalt ideal är ett primideal. Jag vet att det finns olika sätt att visa detta men i den här kursen ska vi använda följande resonemang:

(1) Antag att M är ett maximalt ideal och ab $\in$ M , men a inte ett element i M
(2) --> (a, M) = {ax+m | x $\in$ R, m $\in$ M} = R
(3) --> 1 $\in$ R
(4) --> b = abx + bm

Här slutar beviset och jag förstår inte riktigt vad det är som visats.
(1) Vi antar att M är ett maximalt ideal och eftersom b fortfarande kan vara ett element i M kan M vara ett primideal även om a inte är ett element i M
(2) Vi skapar idealet (a,M) som är större än M och därför måste vara hela ringen R (eftersom M är ett maximalt ideal)
(3) Varje ring innehåller 1
(4) Här tror jag de tänkt att 1=ax+m för något a, x och m, och att b således kan skrivas som b = bax+bm. Men vad bevisar det? Och hur visar det att M är ett primideal?

Rörig fråga men jag hoppas någon förstår min lärare bättre än jag gör :/ Tack på förhand!

Du har tänkt rätt i att det man försöker visa är att $b \in M$ , vilket alltså skulle visa att $M$ är ett primideal.

En annan viktig sak att klargöra är att vi antar här att $R$ är en kommutativ ring med etta. Primideal brukar ofta definieras i kommutativa ringar och det här beviset kräver vidare att $R$ har en multiplikativ identitet.

Du verkar ha tänkt rätt om steg (1) och (2). I steg (3) så har vi $1 \in R$ , inte för att alla ringar innehåller $1$ . Alla ringar har ett additivt identitetselement, men vi behöver ett multiplikativt identitetselement, vilket vi endast får då vi antar att $R$ är en ring med etta.

Du har tänkt rätt i första delen av steg (4). Det återstår alltså att utifrån $b = bax + bm$ visa att $b \in M$ .

Då $R$ är kommutativ har vi $b = bax + bm = abx + bm$ . Notera nu att $ab \in M$ och $m \in M$ . Det sista viktiga steget nu är att komma ihåg definitionen av ett ideal. Ideal är delringar som "absorberar" multiplikation med godtyckliga element i ringen. Så $abx \in M$ och $bm \in M$ , då $M$ är ett ideal och $ab \in M$ och $m \in M$ . Slutligen måste $M$ vara sluten under addition vilket då visar att $b \in M$ och därav att $M$ är ett primideal.

Prontera skrev:
Du har tänkt rätt i att det man försöker visa är att $b \in M$ , vilket alltså skulle visa att $M$ är ett primideal.
En annan viktig sak att klargöra är att vi antar här att $R$ är en kommutativ ring med etta. Primideal brukar ofta definieras i kommutativa ringar och det här beviset kräver vidare att $R$ har en multiplikativ identitet.
Du verkar ha tänkt rätt om steg (1) och (2). I steg (3) så har vi $1 \in R$ , inte för att alla ringar innehåller $1$ . Alla ringar har ett additivt identitetselement, men vi behöver ett multiplikativt identitetselement, vilket vi endast får då vi antar att $R$ är en ring med etta.
Du har tänkt rätt i första delen av steg (4). Det återstår alltså att utifrån $b = bax + bm$ visa att $b \in M$ .
Då $R$ är kommutativ har vi $b = bax + bm = abx + bm$ . Notera nu att $ab \in M$ och $m \in M$ . Det sista viktiga steget nu är att komma ihåg definitionen av ett ideal. Ideal är delringar som "absorberar" multiplikation med godtyckliga element i ringen. Så $abx \in M$ och $bm \in M$ , då $M$ är ett ideal och $ab \in M$ och $m \in M$ . Slutligen måste $M$ vara sluten under addition vilket då visar att $b \in M$ och därav att $M$ är ett primideal.

Tack snälla för en jättebra förklaring! Nu förstår jag :)

Svara