Abstrakt algebra: studiet av linjär algebra mer användbart än av andra strukturer?
Ja, det verkar tydligen så från en ingenjörs synvinkel, men eftersom jag även gillar matte som ensamt ämne så kan jag inte låta bli att ta ett steg tillbaka och se vektorrum som bara en av många andra strukturer. Jag vet att på KTH finns enskilda kurser som heter grupper och ringar och så, men de är inte obligatoriska för något program. Men (jag har kollat) linjär algebra är obligatorisk för alla ingenjörsprogram på KTH.
Jag tror att det egentligen är för att man får geometri i R3 och linjära ekvationssystem på köpet (och de smaskigare sakerna om man lär sig mer matte och fysik), men jag tycker inte att det är det mest intressanta i linjär algebra. Hade jag fått välja skulle geometri i R3 blivit en parantes.
Det som fick upp mina ögon för kursen/ämnet var när någon sa att polynom var vektorer, och det makeade överväldigande sense omedelbart fastän jag då inte visste vad (abstrakta) vektorrum var för nåt. Det borde vara det första läraren säger i kursen, pang på.
Jag vet i ärlighetens namn inte, då jag inte har så särskilt bra koll på andra strukturer, men det vore elakt att låta dig sitta ensam med ett ständigt bumpande av dina egna trådar:
Du rubricerar med ordet "abstrakt", och jag skulle vilja påstå att det är just för att matematik är väldigt abstrakt som elever har problem med matematik. Ta bara något som grundläggande som operationen 1+1=2. Det den säger är att "om vi har 1 av något och till detta lägger 1 av samma något har vi 2 av detta något". Det faktum att "något" egentligen kan vara vadsomhelst är styrkan i matematik då den redovisar att det finns många sammanhang som matematik är applicerbart på samtidigt som det visar svagheten i att lära sig det eftersom det kräver att man tänker sig operationen som applicerbar i många sammanhang, vilket gör den mer svårbegriplig.
Därför brukar matteböcker ta exempel som att "om Lisa har 1 äpple och sedan hittar 1 till hur många har hon då?" för att skapa en konkretisering som gör det mer lätthanterligt.
Och på samma sätt som begreppet "1" i ovanstående beskrivning egentligen är tämligen abstrakt trots att både du och jag vet hur man använder den är begreppet "vektor" också ganska abstrakt. Du sade att man kunde tolka polynom som vektorer, något jag har ett minne av att ha lärt mig, och det är absolut användbart eftersom att det därmed finns en hel del saker man kan få ut från kunskap om vektorrum även applicerbart på polynom, men för att få någon slags hum om reglerna kring vektorer/intuitiv bild av vad en vektor är måste man ha något slags synsätt att utgå från och då är synsättet inbakat i linjär algebra mindre abstrakt.
Och ju mindre abstrakt någonting är desto lättare är det att lära sig. Därför är jag en smula tveksam till om läraren gör klokast i att vara "pang på" eftersom det är att direkt gå till den mest abstrakta tolkningen av ämnet.
Sedan innehåller ju även linjär algebra begrepp såsom räta linjer och plan, geometriska objekt som man kan fysiskt föreställa sig framför sig. Inbakat är också ett fokus på problemlösning, eftersom man förhoppningsvis vet om hur man skall gå tillväga om man har en massa villkor med okända variabler som man vill ta reda på, och ett verktyg i form av Gaussning som gör problemen förhållandevis lätta.
Jag hoppas att detta är användbart som förklaring/spekulation.
Det är ett exotiskt sätt att se på linjär algebra som studiet av en många matematiska strukturer.
När du gjorde denna tråd gick du typ färdigt linjär algebra tror jag. För det första är inte en första kurs i linjär algebra undervisat som studiet av vektorrum (vare sig för rena studenter eller civing), för då hade upplägget varit typ:
- börjat med vektorrummets definitioner (se wikipedia),
- sedan gått igenom linjära avbildningar och determinant eventuellt utan att ens nämna matriser(!) eftersom man inte kan det om man inte väljer bas vilket vi inte gjort för man gör inte något man inte måste för det är elegance á la äkta matematiker.
- Lagt mycket stor vikt vid tex dimensionssatsen och sen dess generaliseringar, fortfarande kanske utan matriser
- Dualrum och hur linjära avbildningar själva kan bilda vektorrum(!), sen rakt in på tensorer...
- sedan gått till oändligtdimensionella vektorrum och dess tillämpningar...
- Osv
Extremt annorlunda upplägg fast det är "samma" ämne, samma struktur.
Konkretiseringarna man pysslar med i en första kurs i linalg är när kroppen är R, dimensionen är 2 eller 3, och vektorbasen är satt, och linjära mappningar är matriser, dot och cross har geometriska tolkningar. It so happens sen att dessa inskränkningar räcker långt för tillämpningar. Här är lite tekfys centrerade godisbitar:
- Hållfastherslära, egenvärden dyker upp, ekvationssystem, spänningstensorn är en symmetrisk matris.
- Mekanik, allt sker i 3d, krafter är vektorer, kryssprodukt.
- Elektrodynamik, vektorfält, kryssprodukter,
- Strömmningsmekanik, vektorfält, via flervariabelanalys
- Kvantmekanik: att lösa PDEer och se funktioner som vektorer, spinors
Den filosofiska biten:
Anledningen linalg är så allmängiltigt är typ att allt kan ses som vektorer. Man kan likväl säga att "allt är gruppelement" för vektorrum bygger på kroppar och kroppar är grupper. Eller en bättre jämförelse är nog moduler. Men i alla fall, det är mindre kraftfullt att se det på det sättet för vår verklighet har mycket mer struktur än så. Varför inte anta kommutativitet när vår verklighet, eller i alla fall våra naturligt förekommande vektorer, de facto adderas kommutativt?
Kan man verkligen säga att verkligheten har struktur eller är det vi som sätter strukturen på den, vad menade jag där? Vad är en naturligt förekommande vektor, there is no such thing? Hade allt kunnat vara modulbaserat i ett parallellt universum? Blev linjär algebra naturvetenskapens lingua franca av historisk tillfällighet, dvs har vi hittat bästa språket att beskriva verkligheten med än?
