Abstrakt algebra matrisrepresentation

Generellt skall det gälla att

[T(x)]_$\gamma$ = [T${]}_{\beta }^{\gamma }$[x${]}_{\beta }$.

Om du tex sätter x = v₁, vad får du då?

Notera att ${\left[{\mathit{v}}_1\right]}_{\beta }$ = e₁ = fösta vektorn i standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^n$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$.

Om du multiplicerar en m x n matris M med e₁ så får man första kolumnen i matrisen M som resultat, eller hur?

PATENTERAMERA skrev:

Generellt skall det gälla att

[T(x)]_$\gamma$ = [T${]}_{\beta }^{\gamma }$[x${]}_{\beta }$.

Om du tex sätter x = v₁, vad får du då?

Notera att ${\left[{\mathit{v}}_1\right]}_{\beta }$ = e₁ = fösta vektorn i standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^n$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$.

Om du multiplicerar en m x n matris M med e₁ så får man första kolumnen i matrisen M som resultat, eller hur?

Jo det är sant, men drar inte någon slutsats från det.

Du drar slutsatsen att ${\left[T\left({\mathit{v}}_1\right)\right]}_{\gamma }={\left[T\right]}_{\beta }^{\gamma }{\left[{\mathit{v}}_1\right]}_{\beta }={\left[T\right]}_{\beta }^{\gamma }{\mathit{e}}_1 = Co{l}_1\left({\left[T\right]}_{\beta }^{\gamma }\right)$.

Vad händer sedan om du sätter x = v₂, v₃, ... ?

Notation: Col_k(M) = k:te kolumnen hos matrisen M.