Abstrakt algebra

Här är en bild på lösning till en liknande uppgift i boken som jag inte förstår

Vad är det du inte hänger med på i exemplet med $x^3 - 2$? Är du med fram till de ställer upp ekvationen $a\left(x\right)(1 + x) + b\left(x\right)(x^3 - 2) = 1$?

De använder det som ibland kallas Bézout's identity som gäller i alla PID (och en Euclidean domain är alltid en PID). I en Euclidean domain som t.ex. $\mathrm{\mathbb{Q}}\left[x\right]$ kan du dessutom använda Euklides algoritm för att dividera polynom med rest. Så det man gör är helt enkelt polynomdivision där man delar $x^3-2$ med $x+1$:

$x^3-2=(x^2-x+1)(x+1)-3$.

När vi sedan går till quotient field blir VL lika med 0, så vi får alltså $3=({\theta }^2-\theta +1)(\theta +1)$. Alltså har vi beräknat inversen enligt $1=\frac{{\theta }^2-\theta +1}{3}(\theta +1)$.

Hjälper det något?

Eftersom $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\mathbb{Q}}\left[x\right]$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(x^3-2)$}\right.$ är en kropp (field), så måste alla element (ej lika med 0) ha inverser. Om vi vill hitta inversen till elementet $1+\theta$, så kan vi leta i $\mathrm{\mathbb{Q}}\left[x\right]$ efter ett polynom som multiplicerat med $1+x$ blir $x^3-2$, eftersom $x^3-2=0$ i $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\mathbb{Q}}\left[x\right]$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(x^3-2)$}\right.$.

Gustor skrev:

Eftersom $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\mathbb{Q}}\left[x\right]$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(x^3-2)$}\right.$ är en kropp (field), så måste alla element (ej lika med 0) ha inverser. Om vi vill hitta inversen till elementet $1+\theta$, så kan vi leta i $\mathrm{\mathbb{Q}}\left[x\right]$ efter ett polynom som multiplicerat med $1+x$ blir $x^3-2$, eftersom $x^3-2=0$ i $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\mathbb{Q}}\left[x\right]$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(x^3-2)$}\right.$.

Tack för hjälpen, jag hänger med mycket bättre nu. Var mest förvirrad över hur de ställde upp den där ekvationen i boken och vart den kommer ifrån.