Abstrakt algebra(?): iso- och homomorfismer och bijektioner (Matematik/Universitet)

En bijektion som inte är en homomorfi kallas för en bijektion. Om den uppfyller några krav kan den säkert kallas något annat. En homomorfi som är bijektiv kallas isomorfi, om den inte är bijektiv kallas den helt enkelt bara homomorfi.

Alla linjära avbildningar är homomorfier mellan vektorrum eftersom de bevarar linjäriteten.

Detta handlar definitivt om abstrakt algebra.

Ibland sägs det att "matematik är studiet av dels mängder med struktur, och dels strukturbevarande avbildningar mellan sådana mängder".

Det är så klart inte hela sanningen, men det är inte helt långt ifrån - särskilt inte när det gäller algebra!

En av de enklaste och viktigaste typerna av "mängder med struktur" som algebraiker intresserar sig för är grupper (bland annat eftersom de är grunden för allt som har med symmetri att göra).

Som du kanske redan vet består en grupp av två bitar data:

En mängd $G$ av element.
En gruppoperation $\star\colon G\times G\to G$ .

som tillsammans ska uppfylla vissa regler (associativitet, existens av identitetselement och inverterbarhet), se Wikipedia för en utförligare förklaring!

En "strukturbevarande avbildning" kallas ofta för en homomorfi, och en grupphomomorfi mellan två grupper $(G,\star)$ och $(H,\cdot)$ är helt enkelt en avbildning $f\colon G\to H$ som "respekterar" gruppoperationerna, i bemärkelsen att

$f(x\star y)=f(x)\cdot f(y)$ för alla $x,y\in G$ .

Du är redan bekant med åtminstone en grupphomomorfi från gymnasiematten, nämligen logaritmen, som tar oss från den multiplikativa gruppen av positiva tal $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ till den additiva gruppen $(\mathbb{R},+)$ . En av de första logaritmlagarna säger ju just precis att

$\lg(a\cdot b)=\lg(a)+\lg(b)$

för alla $a,b>0$ .

Den bästa typen av strukturbevarande avbildningar är de som är inverterbara, med en invers som också är strukturbevarande. En sådan avbildning kallas för en isomorfi, och om det finns en sådan mellan två mängder med en viss typ av struktur säger man att de är isomorfa. Konkret betyder det att de två mängderna i grund och botten har samma struktur - och att det enda som skiljer dem åt är hur man har namngett elementen i mängderna.

Här har du tre olika grupper som är isomorfa:

Heltalen mod 2 med addition som gruppoperation.
Sant och falskt med den logiska operationen 'xor' som gruppoperation.
1 och -1 med vanlig multiplikation som gruppoperation.

Grupperna kan beskrivas med en "operationstabell" (analogt med multiplikationstabellerna vi har tragglat sedan lågstadiet):

Notera att tabellerna har samma struktur (vilket jag har försökt indikera genom att färglägga elementen som motsvarar varandra) - det enda som skiljer grupperna åt är egentligen att vi har namngett och ordnat elementen olika!

En gruppisomorfi (eller om man så vill: ett strukturbevarande "namnbyte") mellan den första och den andra gruppen skulle kunna vara $\varphi: \{0,1\}\to \{\mathrm{T,F}\}$ med $\varphi(0)=F$ och $\varphi(1)=T$ . Det är enkelt att verifiera att den respekterar strukturen (exempelvis gäller $\varphi(0+1)=T=\mathrm{F\,xor\,T}$ ), att den är inverterbar, och att inversen också respekterar strukturen.

Dessutom: även om jag inte kan visa det med en pedagogisk färgläggning så är logaritmfunktionen också en gruppisomorfi, som säger att multiplikation och addition i någon mening är två sidor av samma mynt. Detta är faktiskt hela grunden till hur de räknestickor som användes innan miniräknaren kom fungerar! Det en räknesticka i grund och botten gör (de flera är dock utrustade med många fler fiffiga funktioner) är att de översätter jobbiga produkter till mer lätthanterliga summor av logaritmer, beräknar summan och sedan översätter tillbaka igen!

Här kommer tre stycken grupper med fyra stycken element vardera. Två av de är isomorfa (dvs. det går att hitta ett strukturbevarande namnbyte/omordning av elementen som gör att tabellerna sammanfaller!), medan en av dem har en helt annan struktur i sin gruppoperationstabell.

Om du är riktigt skarpsynt kanske du kan se vilken det är som avviker? ^_^

Heltalen mod 4 med addition som gruppoperation:

$\begin{array}{r|rrrr} + & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2\end{array}$

Klein 4-gruppen (även namnet på ett roligt band):

$\begin{array}{c|cccc} \star & e & a & b & c \\\hline e & e & a & b & c \\a & a & e & c & b \\b & b & c & e & a \\c & c & b & a & e \end{array}$

Nollskilda tal mod 5 med multiplikation som gruppoperation:

$\begin{array}{r|rrrr} \cdot & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 4 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}$

Ledtråd

Kolla vad som händer i den olika grupperna när man multiplicerar saker med sig själva!

Jag tycker att grupper är enklare än vektorrum, i alla fall enligt vilka grundingredienser som krävs, så det måste väl likt vektorrum finnas extra struktur att krydda med? Vad kallas dessa?

Att grupper har så lite struktur (eller kanske snarare: så pass få axiom i definitionen) är både en gåva och en förbannelse! Å enda sidan är gruppteori väldigt enkelt att komma igång med, och det är rätt så enkelt att förstå de mest grundläggande resultaten, men samtidigt är teorin så oerhört generell att den rymmer väldigt många märkliga objekt som är svåra att förstå, och det är svårt att säga något generellt av substans om alla grupper.

Exempel: Redan i en första kurs i linjär algebra så lär man sig klassificera alla (ändligt-dimensionella, om man tycker urvalsaxiomet är obehagligt) vektorrum över en viss kropp upp till isomorfi: två vektorrum är helt enkelt isomorfa om och bara om deras baser har samma kardinalitet. Något liknande fullständigt klassificeringsresultat finns inte ens nästan i gruppteori. Det närmaste man kan komma är kanske klassificeringen av ändliga enkla grupper, som krävde ett enormt matematiskt arbete under lång tid (och som är så komplicerat att det nog är tveksamt om någon ensam kan sägas förstå detaljerna i alla delresultaten till fullo).

Jag är inte helt säker på vad du menar med "extra struktur att krydda med", men visst, vi kan absolut lägga till mer struktur på en grupp. Faktum är att vektorrum i någon mening är just "uppkryddade" grupper!

Kom ihåg från den här tråden att ett vektorrum $(V,\mathbb{F},+,.)$ består av fyra bitar data: en mängd $V$ av vektorer, en mängd (eller mer precist kropp) $\mathbb{F}$ av skalärer, en additionsoperation $+$ , och en skalningsoperation $.$ , som tillsammans uppfyller en lång lista av axiom. Om vi ignorerar skalärerna och skalningsoperationen, och endast fokuserar på själva vektorerna och additionsoperationen får vi en (abelsk, dvs. kommutativ) grupp $(V,+)$ . Man kan därför tänka sig att ett vektorrum är en kommutativ grupp som man har "byggt på" med en extra skalningsstruktur.

[Sidenote: En kul fråga att fundera på om något år när du har läst mer abstrakt algebra är huruvida alla abelska grupper kan byggas ut till ett vektorrum, eller om en abelsk grupp måste se ut på ett visst sätt för att det ska fungera.]

Ett annat sätt att "krydda upp" en grupp är att bilda en ring, som kan betraktas som en abelsk grupp $(R,+)$ med en multiplikationsoperation $\cdot\colon R\times R\to R$ som uppfyller vissa axiom.

Ytterligare en möjlighet är att bilda en Lie-grupp, som kan ses som en grupp $(G,\cdot)$ där man har infört en geometrisk struktur (så att man bl.a. kan prata om öppna omgivningar, släta funktioner och tangentrum) som är kompatibel med gruppstrukturen i bemärkelsen att gruppoperationen och inversionsoperationen ska vara släta avbildningar.

oggih skrev:
Jag skulle säga att skenet bedrar och att grupper i någon mening har så lite struktur (eller kanske snarare: så få axiom i definitionen) att de är rätt svåra att förstå fullt ut. Det finns väldigt många konstiga grupper där ute i världen.

Hmm... okej. Eller du menar att det är just eftersom den (grupper) är så enkel som det är svårt att säga nåt allmängiltigt om den, eftersom ett sånt påståend skulle få väldigt många konsekvenser?

Exempel: Redan i en första kurs i linjär algebra så lär man sig klassificera alla (ändligt-dimensionella, om man tycker urvalsaxiomet är obehagligt) vektorrum över en viss kropp upp till isomorfi: två vektorrum är helt enkelt isomorfa om och bara om deras baser har samma kardinalitet. Något liknande fullständigt klassificeringsresultat finns inte i gruppteori. Det närmaste man kan komma är kanske klassificeringen av ändliga enkla grupper, som krävde ett enormt matematiskt arbete under lång tid (och som är så komplicerat att det nog är tveksamt om någon ensam kan sägas förstå detaljerna i alla delresultaten till fullo).
Jag är inte helt säker på vad du menar med "extra struktur att krydda med", men visst, vi kan absolut lägga till mer struktur på en grupp. Faktum är att vektorrum i någon mening är just "uppkryddade" grupper!

Ja! Men... om man definierar additionen eller skalärmultiplikationen konstigt vid konstruktionen av ett vektorrum så borde man kunna ha två vrum som har samma dimension men som inte är isomorfa. Jag påstår det eftersom det verkar som det du gör i exemplerna ovan, med custom made konstiga operationer. Jag minns att det fanns väldigt specifika krav på vektoradditionsoperatorn och skalärmultiplikationsoperatorn, är det de som sätter stopp för detta?

Ett annat sätt att "krydda upp" en grupp är att bilda en ring, som kan betraktas som en abelsk grupp $(R,+)$ med en multiplikationsoperation $\cdot\colon R\times R\to R$ som uppfyller vissa axiom.

ja!

Ytterligare en möjlighet är att bilda en Lie-grupp, som kan ses som en grupp $(G,\cdot)$ där man har infört en geometrisk struktur (så att man bl.a. kan prata om öppna omgivningar, släta funktioner och tangentrum) som är kompatibel med gruppstrukturen i bemärkelsen att gruppoperationen och inversionsoperationen ska vara släta avbildningar.

Din favorit! Jag har inte satt mig in i det där än, men nu blir jag osäker på om jag är redo för det. Jag har inte lärt mig så mycket algebra alls (utom linjär algebra som ju detta inte är). Det får bli senare kanske

Vi kanske skulle undvika att live-redigera, haha. Det är spännande att se hur dina tankebanor går och ditt svar förfinas, men jag har redan svarat. Jag får kanske avvakta tills du redigerat klart hahahaha

Qetsiyah skrev:
Hmm... okej. Eller du menar att det är just eftersom den (grupper) är så enkel som det är svårt att säga nåt allmängiltigt om den, eftersom ett sånt påståend skulle få väldigt många konsekvenser?

Precis! Jag editerade mitt förra inlägg lite i den riktningen.

Ja! Men... om man definierar additionen eller skalärmultiplikationen konstigt vid konstruktionen av ett vektorrum så borde man kunna ha två vrum som har samma dimension men som inte är isomorfa. Jag påstår det eftersom det verkar som det du gör i exemplerna ovan, med custom made konstiga operationer. Jag minns att det fanns väldigt specifika krav på vektoradditionsoperatorn och skalärmultiplikationsoperatorn, är det de som sätter stopp för detta?

Exakt! Det är det som är det fantastiska med linjär algebra: att axiomen för ett vektorrum är så generella att de passar in på många situationer i både "inom-matematiska" och "utom-matematiska" tillämpningar, och samtidigt så starka att vi kan visa väldigt kraftfulla resultat! ^_^

Din favorit! Jag har inte satt mig in i det där än, men nu blir jag osäker på om jag är redo för det. Jag har inte lärt mig så mycket algebra alls (utom linjär algebra som ju detta inte är). Det får bli senare kanske

Lite tidigt kanske! Det vanligaste är nog att läsa en kurs i gruppteori/abstrakt algebra och en kurs om differentialgeometrin hos kurvor och ytor (och kanske generella mångfalder) innan man börjar med Lie-grupper. Men är man väldigt nyfiken kan man ju alltid tjuvstarta lite! En trevlig och förhållandevis lättillgänglig bok att kolla i i så fall är Naive Lie Theory av Stillwell, som i princip enbart har linjär algebra, envariabelanalys (eventuellt lite reell analys) och "matematisk mognad" som förkunskapskrav.

oggih skrev:
Exakt! Det är det som är det fantastiska med linjär algebra: att axiomen för ett vektorrum är så generella att de passar in på många situationer i både "inom-matematiska" och "utom-matematiska" tillämpningar, och samtidigt så starka att vi kan visa väldigt kraftfulla resultat! ^_^

Ja, jag läste i nån metamattebok att det hela tiden är en balansgång mellan generalitet och användbarhet, inte bara i algebra utan överallt, men att just linjär algebra är gyllene.

Lite tidigt kanske! Det vanligaste är nog att läsa en kurs i gruppteori/abstrakt algebra och en kurs om differentialgeometrin hos kurvor och ytor (och kanske generella mångfalder) innan man börjar med Lie-grupper. Men är man väldigt nyfiken kan man ju alltid tjuvstarta lite! En trevlig och förhållandevis lättillgänglig bok att kolla i i så fall är Naive Lie Theory av Stillwell, som i princip enbart har linjär algebra, envariabelanalys (eventuellt lite reell analys) och "matematisk mognad" som förkunskapskrav.

Ooo okej. ”Eventuellt lite reell analys” låter perfekt för mig haha.

Men det här med matematisk mognad, vad betyder det egentligen? Jag tror jag har en uppfattning om vad det är, men vad betyder det för dig ur ett erfarnare perspektiv? Vana vid abstraktion? Består det i nåt mer?

Men det här med matematisk mognad, vad betyder det egentligen? Jag tror jag har en uppfattning om vad det är, men vad betyder det för dig ur ett erfarnare perspektiv? Vana vid abstraktion? Består det i nåt mer?

Det är ett svårfångat begrepp. Men framför allt tänker jag att det handlar om att man ska ha hunnit se tillräckligt mycket matematik för att ha snappat upp en del vanliga begrepp, tekniker och andra slags "matematiska tankefigurer" (men exakt vilka är inte jätteviktigt), vara bekväm med matematisk notation och oskrivna regler för hur sådan notation fungerar, vara van vid hur matematiska texter är strukturerad, och ha utvecklat bra metakognitiva strategier för sitt matematiska lärande. Och visst: att vara van vid abstrakta koncept, och inte vara rädd för definitioner mer många lager av abstrakta koncept utan känna sig trygg med att man systematiskt kan försöka bygga upp en förståelse genom att exempelvis undersöka konkreta exempel och formulera olika motiverande narrativ runt definitionerna är en viktig del i detta.