Absolutkonvergens och betingad konvergens

Nämnaren är positiv för alla n. Tar du absolutbeloppet av termerna får du därför den serie visas längst ner i (3) och som divergerar. Vi har alltså ett exempel på betingad konvergens eftersom termerna absolut är mindre än (-1)ⁿ /n som är den alternerande serien som är välkänt konvergent.

Hur fick de (-1)^n ?

varför $\frac{1}{(n+1) \ln (n+1)}$divergerar? Kan man säga att det är ungefär lik med  $\frac{1}{n \ln \left(n\right)}$?

Min lärare visade med hjälp av integraler att $\frac{1}{n}$är divergent. Men när man tänker så borde den vara konvergent, eftersom när n går mot oändlighet då blir $\frac{1}{n}=0$

1. Därför att cos(n*pi) = (-1)ⁿ . Testa själv med några n-värden t ex n= 0, n=1 och n=2 (I denna uppgiften är dock n>0)

2. 1/(n+1)ln(n+1) är i princip samma serie som 1/n*ln n 

3. Att termerna i en serie går mot 0 är ett nödvändigt villkor för konvergens men inte tillräckligt. Serien med termerna 1/n är ett exempel på detta.

Kan bara lägga till att vi har jämförelsetest för att visa om 2 positiva serier är ungefär lika stora.

Dela den ena på den andra termvis, alltså tex (1/n)/(1/(n+1)) om du vill jämföra 1/n och 1/(n+1), och se vad gränsvärdet blir mot oändligheten. Om det blir ett vanligt tal, som 1 i det här fallet, är de liknande. Om du får 0 eller oändligheten är den ena mycket större.

Sen heter det väl ändå villkorlig konvergens när det inte är absolutkonvergens? 🤔

Micimacko skrev:

Kan bara lägga till att vi har jämförelsetest för att visa om 2 positiva serier är ungefär lika stora.

Dela den ena på den andra termvis, alltså tex (1/n)/(1/(n+1)) om du vill jämföra 1/n och 1/(n+1), och se vad gränsvärdet blir mot oändligheten. Om det blir ett vanligt tal, som 1 i det här fallet, är de liknande. Om du får 0 eller oändligheten är den ena mycket större.

Sen heter det väl ändå villkorlig konvergens när det inte är absolutkonvergens? 🤔

Ahaa ok, Intressant, tack för trickset!

Yes,  jag fick 1 när jag delade 1/n med 1/n+1 , så det betyder att de är liknande.

Du har rätt det heter vilkorlig konvergens. 

Tomten skrev:

1. Därför att cos(n*pi) = (-1)ⁿ . Testa själv med några n-värden t ex n= 0, n=1 och n=2 (I denna uppgiften är dock n>0)

2. 1/(n+1)ln(n+1) är i princip samma serie som 1/n*ln n 

3. Att termerna i en serie går mot 0 är ett nödvändigt villkor för konvergens men inte tillräckligt. Serien med termerna 1/n är ett exempel på detta.

Okej!

Tack för hjälpen!