Absolutbeloppet som funktion

Man hade precis lika gärna kunnat ha konstaterat att "x² är positivt för alla värden på x, så det är bara när x² <1, d v s när -1 < x < 1, som nämnaren är negativ". Om täljaren och nämnaren har olika tecken, blir kvoten negativ, om de har samma tecken blir kvoten positiv.

Smaragdalena skrev:

Man hade precis lika gärna kunnat ha konstaterat att "x² är positivt för alla värden på x, så det är bara när x² <1, d v s när -1 < x < 1, som nämnaren är negativ". 

Okej men varför skulle man konstatera det? Varför blir det -1<x<1? Hur är nämnaren nödvändigtvis negativ inom intervallen -1<x<1 när x kan också vara positiv, dvs att nämnaren är positiv? 

Däröver är det hela uttrycket som vi ska undersöka tecknen för, och min fråga var som sagt skriver om det som ett uttryck bestående av två termer, ifrån konjugatregeln? Varför använder vi teckenschemat, och varför studerar man uttryckets tecken i intervallerna, hur har de valt ut det? 

Då x = -1, så förstår jag inte hur de får till det att ((x+1)(x-1)/x) = 0, det blir ju 2?
((-1+1)(-1-1)/-1) = (-2/-1) = 2.

Anledningen till att de delar upp det i olika intervall är för att du kan faktorisera täljaren i två termer och för att du har ett bråktal. Talet som helhet är ett bråktal och beroende på x kan du få både ett negativt och positivt bråktal (tecknen för täljare och nämnare för olika x). Vi vill att bråktalet ska vara större än 0 för att logaritmfunktionen ska vara definierad. För att det ska hända finns två möjligheter:

1. Både nämnaren och täljaren är positiva (större än 0).

2. Både nämnaren och täljaren är negativa (mindre än 0).

I lösningen finns en tabell som beskriver när täljaren och nämnaren kan byta tecken, dvs när x =-1, x=0 och x=1. Teckenschemat delar upp de olika termerna för att vi ska kunna räkna ut vilket tecken bråktalet som helhet kommer ha. Om du t ex kollar på när -1 < x < 0 blir 

   x+1 positiv

   x-1  negativ

   x      negativ

Bråktalet blir alltså positivt eftersom både täljare och nämnare är negativa. Då vet vi att -1<x<0 måste vara med i definitionsmängden. 

EnApelsin skrev:

Anledningen till att de delar upp det i olika intervall är för att du kan faktorisera täljaren i två termer och för att du har ett bråktal. Talet som helhet är ett bråktal och beroende på x kan du få både ett negativt och positivt bråktal (tecknen för täljare och nämnare för olika x). Vi vill att bråktalet ska vara större än 0 för att logaritmfunktionen ska vara definierad. För att det ska hända finns två möjligheter:

1. Både nämnaren och täljaren är positiva (större än 0).

2. Både nämnaren och täljaren är negativa (mindre än 0).

I lösningen finns en tabell som beskriver när täljaren och nämnaren kan byta tecken, dvs när x =-1, x=0 och x=1. Teckenschemat delar upp de olika termerna för att vi ska kunna räkna ut vilket tecken bråktalet som helhet kommer ha. Om du t ex kollar på när -1 < x < 0 blir 

   x+1 positiv

   x-1  negativ

   x      negativ

Bråktalet blir alltså positivt eftersom både täljare och nämnare är negativa. Då vet vi att -1<x<0 måste vara med i definitionsmängden. 

Jag hänger fortfarande inte med på varför man göra olika rader för olika termer, när man kunde endast ha haft $\frac{x^2-1}{x}$liksom, och sen undersökt uttryckets tecken på sådant vis. Hur underlättar det för oss att titta på endast x, eller x-1, osv.? Det är i grund och botten endast $\frac{x^2-1}{x}$ som vi är intresserade utav.

Dani163 skrev:

EnApelsin skrev:

Anledningen till att de delar upp det i olika intervall är för att du kan faktorisera täljaren i två termer och för att du har ett bråktal. Talet som helhet är ett bråktal och beroende på x kan du få både ett negativt och positivt bråktal (tecknen för täljare och nämnare för olika x). Vi vill att bråktalet ska vara större än 0 för att logaritmfunktionen ska vara definierad. För att det ska hända finns två möjligheter:

1. Både nämnaren och täljaren är positiva (större än 0).

2. Både nämnaren och täljaren är negativa (mindre än 0).

I lösningen finns en tabell som beskriver när täljaren och nämnaren kan byta tecken, dvs när x =-1, x=0 och x=1. Teckenschemat delar upp de olika termerna för att vi ska kunna räkna ut vilket tecken bråktalet som helhet kommer ha. Om du t ex kollar på när -1 < x < 0 blir 

   x+1 positiv

   x-1  negativ

   x      negativ

Bråktalet blir alltså positivt eftersom både täljare och nämnare är negativa. Då vet vi att -1<x<0 måste vara med i definitionsmängden. 

Jag hänger fortfarande inte med på varför man göra olika rader för olika termer, när man kunde endast ha haft $\frac{x^2-1}{x}$liksom, och sen undersökt uttryckets tecken på sådant vis. Hur underlättar det för oss att titta på endast x, eller x-1, osv.? Det är i grund och botten endast $\frac{x^2-1}{x}$ som vi är intresserade utav.

Visst går det att göra så men risken är mycket större att du tänker fel. Om du tittar på delar av uttrycket går du igenom det mycket mer grundligt eftersom du tittar på term för term. Jag personligen hade inte hittat intervallet -1<x<0 utan att dela upp det i intervall.

Som jag skriv tidigare skulle jag ha delat upp det i täljaren x²-1 och nämnaren x.

Bump

Vad vill du veta? Om du tycker det fungerar att betrakta hela uttrycket så är det inget fel med det. Visa hur du gör. 

Det är inte tillåtet att bumpa sin tråd inom tjugofyra timmar efter att tråden postats, eller inom tjugofyra timmar efter trådens senaste inlägg. Att bumpa innebär att skriva ett inlägg som inte bidrar med mer information till tråden, exempelvis "Någon??". Bumpning gör trådar svårlästa. /moderator