Absolutbeloppet av två komplexa tal, z och w. Hur kan man bevisa den här formeln?

Du kan använda potenslagen $\frac{f^h}{g^h}=(\frac{f}{g})^h$ direkt.

Yngve skrev:

Du kan använda potenslagen $\frac{f^h}{g^h}=(\frac{f}{g})^h$ direkt.

 

Hej Yngve! Kanske jag borde ha haft la in min bild på mitt försök. Här är det:

Problemet med att använda potenslagen direkt är att jag kan inte uttrycka a^2 + b^2 på något annat sätt än abs(z)^2. När man gör det så får man det ursprungliga uttrycket om man tar bort roten ur och exponentet.

Bra början.

Dy kan nu byta tillbaka från a²+b² till |z| och från x²+y² till |w| så är du klar 

Yngve skrev:

Bra början.

Dy kan nu byta tillbaka från a²+b² till |z| och från x²+y² till |w|

Yngve, vi definerade abs(z) som sqrt(a^2 + b^2). Det är inte abs(z) = a^2 + b^2? Jag förtydligar:

Vad jag tror vi måste få är $\left|\frac{a+bi}{x+yi}\right|=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Källa: Complex number absolute value & angle review (article) | Khan Academy

Sorry, helt feltänkt av mig.

Sätt istället $z=r_1e^{iv_1}$ och $w=r_2e^{iv_2}$.

Då blir $|z|=r_1$, $|w|=r_2$ och $\frac{z}{w}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(v_1-v_2)}$

Yngve skrev:

Sorry, helt feltänkt av mig.

Sätt istället $z=r_1e^{iv_1}$ och $w=r_2e^{iv_2}$.

Då blir $|z|=r_1$, $|w|=r_2$ och $\frac{z}{w}=\frac{r_2}{r_2}e^{i(v_1-v_2)}$

Hur fick du allt det där? Jag är bara på kapitel 4.1.2 i min bok... :) Jag förstår inte substutionen du gjorde precis. Jag har en uppgift om att bevisa det här med kunskapen jag redan vet 😅

Det är polära koordinater på exponentiell form.

Har ni kommit till polära koordinater på trigonometrisk form ännu (dvs z = r(cos(v)+i*sin(v))) ännu?

Yngve skrev:

Det är polära koordinater på exponentiell form.

Har ni kommit till polära koordinater på trigonometrisk form ännu (dvs z = r(cos(v)+i*sin(v))) ännu?

har ändå mycket att lära mig inom komplexa.. :) 

Kortsagt, nej jag har inte gått igenom det ännu. Kan man typ bevisa det med matematisk induktion? Jag vet inte, men konstigt uppgift gällande det jag bara vet just nu

Det går att visa algebraiskt utan vare sig induktion eller polär form.

Är detta alltså en inlämningsuppgift?

Yngve skrev:

Det går att visa algebraiskt utan vare sig induktion eller polär form.

Är detta alltså en inlämningsuppgift?

Inte riktigt, jag gör bara uppgifterna i min bok. Tränar inför gymnasiet om ett år :) Också ha det lite kul med matte och adrenalin av att lösa uppgifterna

Yngve skrev:

Det går att visa algebraiskt utan vare sig induktion eller polär form.

Är detta alltså en inlämningsuppgift?

Hur bevisar man det algebraiskt?

OK då får du bara en ledtråd till att börja med: Utgå från HL och visa att detta är samma sak som VL.

Yngve skrev:

OK då får du bara en ledtråd till att börja med: Utgå från HL och visa att detta är samma sak som VL.

Interessant... Inte från VL till HL men istället från HL till VL. Kul! Jag vet det är ändå samma sak (=)

Japp. Kämpa på och fråga om du kör fast.

Yngve skrev:

Japp. Kämpa på och fråga om du kör fast.

Okej! Tack!

Jag har inte riktigt kommit någonstans :)

Yngve skrev:

Japp. Kämpa på och fråga om du kör fast.

Är det ett svårt bevis algebraiskt? Här vad jag tänker lite grann:

Det kanske fungerar att förlänga med konjugatet av w.

Yes, det fungerar. Uttryck helt enkelt kvoten z/w och bestäm beloppet av denna.

Exakt! Det tänkte jag också. Men om jag tar beloppet av toppen och botten, så blir det typ cirkulär logik: jag använder det originala formeln för att lösa den originala formeln? Vad jag menar är att jag kan inte nu bara ta absolutbeloppet av topp och botten, för då blir det samma sak som att bara säga abs(z/w) = abs(z)/abs(w). Det är det vi vill försöka lösa för! :) Dessutom märker vi att abs(x^2 + y^2) inte ger oss abs(w).

Börja med att bestämma kvoten z/w uttryckt på rektangulär form. Därefter tar du beloppet av hela kvoten och visar att det är lika med VL i formeln.

Calle_K skrev:

Börja med att bestämma kvoten z/w uttryckt på rektangulär form. Därefter tar du beloppet av hela kvoten och visar att det är lika med VL i formeln.

huh? vad är rektangulär form? är det z = a+bi?

Sökte upp det, okej

Calle_K skrev:

Börja med att bestämma kvoten z/w uttryckt på rektangulär form. Därefter tar du beloppet av hela kvoten och visar att det är lika med VL i formeln.

Var det inte det jag gjorde precis?

I sista likheten i svar #18 använder du formeln. Men det behöver du inte, det är ju som du säger formeln du vill visa i slutändan.

Fortsätt utveckla VL i sista raden i svar #18 tills du faktiskt ser att du får det som du skrivit i HL på samma rad.

Calle_K skrev:

I sista likheten i svar #18 använder du formeln. Men det behöver du inte, det är ju som du säger formeln du vill visa i slutändan.

Fortsätt utveckla VL i sista raden i svar #18 tills du faktiskt ser att du får det som du skrivit i HL på samma rad.

Aaa just det, glömde skriva att jag var inte färdigt ännu haha

Har ni några idéer däremot om hur man kan fortsätta med utvecklingen. Det tar typ stopp vid den där likheten, för att jag har inga idéer. 

Bryt upp kvoten så att den blir på formen A+Bi, sedan är det bara att beräkna beloppet som vanligt.

Jag hittade ett annat sätt: bevisa abs(zw) = abs(z) * abs(w). Efter det så säger jag bara att w = 1/v. Jag lyckades bevisa abs(zw) = abs(z)*abs(w)

Om du visat att abs(z•u) = abs(z)•abs(u) så kan du använda detta.

abs(z/w) = abs(z•(1/w)) = abs(z)•abs(1/w).

Om du nu kan visa att abs(1/w) = 1/abs(w) så är du hemma.