Absolutbelopp utan räknare

Jag har det komplexa talet

z=(10+4i)(1+8i)(8+10i)(−1+11i)(10+4i)

och ska beräkna ∣z∣av det.

Jag ska inte svara på formen a+bi för man får inte ha i i svaret.

Jag har tidigare fått svar på denna uppgift här på Pluggakuten, men nu önskar jag få hjälp att kunna räkna ut svaret utan räknare.

Jag vet att absolutbeloppet är avståndet till origo i det komplexa talplanet och jag vet att man bestämmer absolutbeloppet genom att ta

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Jag gör så här:

$|z| = (\sqrt{10^{2} + 4^{2}}) (\sqrt{1^{2} + 8^{2}}) (\sqrt{8^{2} + 10^{2}}) (\sqrt{- 1^{2} + 11^{2}}) = = (\sqrt{116}) (\sqrt{65}) (\sqrt{164}) (\sqrt{122}) \approx 12283 .$

Jag kan räkna ut för hand

$\sqrt{116 \cdot 65 \cdot 164 \cdot 122} = \sqrt{150860320},$

men sedan blir det alltför svårt att Beräkna roten ur 150860320.

Jag kan uppskatta att den ligger runt 12500, men det är svårt att få ut det exakta svaret när jag räknar för hand.

Anledningen till att jag vill lära mig att räkna ut svaret utan räknare är att en sådan här uppgift kan komma på en kommande tentamen, där vi inte har tillgång till räknare och där svaret ska ges exakt.

Man skulle ju kunna tänka sig att jag svarar att absolutbeloppet är $\sqrt{150860320}$ men helst skulle jag vilja ge svaret 12283 och visa hur jag kommit fram till det utan räknare.

Jag kan ju även beräkna $\sqrt{116}, \sqrt{65}, \sqrt{164} o c h \sqrt{122}$ med säg 3 decimalers precision och sedan multiplicera dem med varandra. Det vore ju enklare än att ta roten ur ett niosiffrigt tal.

Men är det någon som har en bättre idé kanske?

Det finns några faktorer 2, så man kan göra talet under rottecknet lite mindre. Om svaret ska vara exakt så är du klar sen. 12283 är ett approximativt svar.

Hej Laguna!

Du har rätt i att 12283 är ett approximativt svar, det har ju avrundats.

Skulle du kunna förklara närmare vad du menar med att det finns några faktorer 2?

Nu har jag kollat upp en sak vad gäller tentan. Det går bra att svara i exakt form så här:

$|z| = \sqrt{(10^{2} + 4^{2}) (1^{2} + 8^{2}) (8^{2} + 10^{2}) ((- 1)^{2} + 11^{2})} .$

Det var ju skönt!

Tack ska ni ha i alla fall för alla bra idéer!

Lisa Mårtensson skrev:
Hej Laguna!
Du har rätt i att 12283 är ett approximativt svar, det har ju avrundats.
Skulle du kunna förklara närmare vad du menar med att det finns några faktorer 2?

116 går att dela med 4, 164 också. Så man kan få faktorn 4 utanför rottecknet.

Just det!

$\sqrt{164} = 2 \sqrt{41}$

Så menade jag, ja.

Tänk om man halar fram en räknesticka på provet. Det är inte en miniräknare.

Ja, en räknesticka tar jag nog med mig till provtillfället ;-) Bra idé!

Hej!

Du kan förenkla beräkningen litet genom att bryta ut några faktorer så att realdel och imaginärdel blir relativt prima heltal.

$10+i4 = 2(5+i2)$ och $8+i10 = 2(4+i5)$

ger modulerna (det som du kallar absolutbelopp)

$|10+i4| = 2|5+i2|$ och $|8+i10| = 2|4+i5|$ .

Beräkningen blir då

$4\sqrt{(25+4)(1+64)(16+25)(1+121)}=4\sqrt{29\cdot 65 \cdot 41 \cdot 122}.$

Sedan gäller $65 = 5\cdot 13$ och $122 = 2\cdot 61$ så att den sökta modulen är

$4\sqrt{10}\cdot\sqrt{13\cdot29\cdot41\cdot61}.$

Tack så mycket Albiki

Generellt sett så har jag aldrig gjort en tentamen som kräver att du ska förenkla svar som är jättestora. Det fungerar utmärkt att svara 25! istället för att börja multiplicera 25*24*23*23...*2*1. Poängen med en tentamen är att visa om du förstått principerna i matematiken du studerar, inte om du kan förenkla $\sqrt{234523423423424}$ .

Svara

Visa senaste svar